星星之火-35：为什么傅里叶分析需要引入负频率以及负频率的物理意义是什么？

2023-11-10

1. 傅里叶分析的量化模型

下图是通过傅里叶分析从时域信号中获取谐波分量的幅度特征的基本模型：

是不是似曾相识？是的，这个模型就是从高频已调信号中解调出基带信号的模型！！！

该模型是利用函数正交性原理，通过指定频率的复指数信号，从时域信号中获取指定频率的复指数信号的特征。

不同的类型的时域信号，提取复指数信号的谐波分量的实部和虚部系数的模型是相同的，只是计算公式略有差别而已！

最终会得到如下谐波信号序列：

An.x * cos(nωt) + i*An.y*sin(n*ωt) ; {n=....-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.......} , 其中

n=0时, 谐波频率nωt=0，A0.y=0，A0.x就是直流信号的幅度，简称A0。

n=1时，谐波频率nωt=ωt，即基波频率

2. An.x和An.y幅度可以为正或负的物理意义

根据An.x * cos(nωt) + i*An.y*sin(nωt)，

如果只有正幅度，复指数信号只能是: cosx + i*sinx

如果幅度可正可负，这就意味着参与构建时域信号的谐波信号的种类增加到4种。

+cosx + i*sinx

-cosx - i*sinx

+cosx + i*sinx

-cosx + i*sinx

负幅度的引入，把复信号的相位控制有【0,90°】，扩展到了【0,360°】或者说【-180°，180°】

3. 频率nω可正数，可负数

根据cos(-x) = cos(x); sin(-x) = - sinx.

对于cosx，负频率与正频率等价的。

对于sinx，负频率相当于正频率信号的幅度 * -1.

复频率的引入，把复信号的相位控制有【0,90°】，扩展到了【-90°,90°】

因此幅度的符号，已经包含了负频率的效果。

4. 那么为什么还需要负频率？

主要原因还是因为复指数的数学运算需要：

$\large An*e^{+jwt}} = An.x * cos(wt) + An.y * sin(wt)$

$\large An*e^{-jwt}} = An.x * cos(wt) - An.y * sin(wt)$

$\large An*e^{-jwt}} * e^{jwt}} = An * e^{(jwt-jwt)} = An * e^0 = An * 1 = An$

负频率的引入，把三角函数的运算空间可以转化为复指数运算空间，极大的简化了数学运算。

5. 负频率的物理意义

负频率的引入是解决复指数运算问题，但负频率并非没有物理意义。

（1）复指数信号：虚指数函数在三维空间中螺旋函数

（2）正频率的物理意义：逆时针旋转

如下是正频率的复指数信号中实部信号cos(x) 与sin(x)的关系图。

其物理意义是：

虚指数函数逆时针旋转时，在x轴方向的投影是余弦函数，

虚指数函数逆时针旋转时，在y轴方向的投影是正弦函数。

（3）负频率的物理意义：顺时针旋转

如下是负频率的复指数信号中实部信号cos(-x) 与sin(-x)的关系图。

$\large e^{-jwt}} = cos(wt) - sin(wt)$

其物理意义是：

虚指数函数顺时针旋转时，在x轴方向的投影是余弦函数，

虚指数函数顺时针旋转时，在y轴方向的投影是正弦函数。

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