3D 线-平面相交

如果给定一条线（由一个向量或线上的两个点表示），如何找到该线与平面相交的点？我已经找到了大量关于这方面的资源，但我无法理解那里的方程（它们似乎不是标准代数）。我想要一个可以用标准编程语言（我使用的是Java）解释的方程（无论多长）。

下面是一个查找直线和平面交点的 Python 示例。

其中平面可以是点和法线，也可以是 4d 向量（法线形式）， 在下面的例子中（提供了两者的代码）.

另请注意，此函数计算一个表示该点在线上位置的值（称为fac在下面的代码中）。 您可能也想返回它，因为从 0 到 1 的值与线段相交 - 这可能对调用者有用。

其他细节在代码注释中注明。

注意：此示例使用纯函数，没有任何依赖项 - 以便轻松迁移到其他语言。 与一个Vector数据类型和运算符重载，可以更简洁（包含在下面的示例中）。

# intersection function
def isect_line_plane_v3(p0, p1, p_co, p_no, epsilon=1e-6):
    """
    p0, p1: Define the line.
    p_co, p_no: define the plane:
        p_co Is a point on the plane (plane coordinate).
        p_no Is a normal vector defining the plane direction;
             (does not need to be normalized).

    Return a Vector or None (when the intersection can't be found).
    """

    u = sub_v3v3(p1, p0)
    dot = dot_v3v3(p_no, u)

    if abs(dot) > epsilon:
        # The factor of the point between p0 -> p1 (0 - 1)
        # if 'fac' is between (0 - 1) the point intersects with the segment.
        # Otherwise:
        #  < 0.0: behind p0.
        #  > 1.0: infront of p1.
        w = sub_v3v3(p0, p_co)
        fac = -dot_v3v3(p_no, w) / dot
        u = mul_v3_fl(u, fac)
        return add_v3v3(p0, u)

    # The segment is parallel to plane.
    return None

# ----------------------
# generic math functions

def add_v3v3(v0, v1):
    return (
        v0[0] + v1[0],
        v0[1] + v1[1],
        v0[2] + v1[2],
    )


def sub_v3v3(v0, v1):
    return (
        v0[0] - v1[0],
        v0[1] - v1[1],
        v0[2] - v1[2],
    )


def dot_v3v3(v0, v1):
    return (
        (v0[0] * v1[0]) +
        (v0[1] * v1[1]) +
        (v0[2] * v1[2])
    )


def len_squared_v3(v0):
    return dot_v3v3(v0, v0)


def mul_v3_fl(v0, f):
    return (
        v0[0] * f,
        v0[1] * f,
        v0[2] * f,
    )

如果平面定义为 4d 向量（正常形式），我们需要在平面上找到一个点，然后像以前一样计算交点（参见p_co任务）。

def isect_line_plane_v3_4d(p0, p1, plane, epsilon=1e-6):
    u = sub_v3v3(p1, p0)
    dot = dot_v3v3(plane, u)

    if abs(dot) > epsilon:
        # Calculate a point on the plane
        # (divide can be omitted for unit hessian-normal form).
        p_co = mul_v3_fl(plane, -plane[3] / len_squared_v3(plane))

        w = sub_v3v3(p0, p_co)
        fac = -dot_v3v3(plane, w) / dot
        u = mul_v3_fl(u, fac)
        return add_v3v3(p0, u)

    return None

为了进一步参考，这是从 Blender 中获取并改编为 Python 的。isect_line_plane_v3() in math_geom.c

为了清楚起见，这里是使用的版本数学工具 API （可以针对具有运算符重载的其他数学库进行修改）.

# point-normal plane
def isect_line_plane_v3(p0, p1, p_co, p_no, epsilon=1e-6):
    u = p1 - p0
    dot = p_no * u
    if abs(dot) > epsilon:
        w = p0 - p_co
        fac = -(plane * w) / dot
        return p0 + (u * fac)

    return None


# normal-form plane
def isect_line_plane_v3_4d(p0, p1, plane, epsilon=1e-6):
    u = p1 - p0
    dot = plane.xyz * u
    if abs(dot) > epsilon:
        p_co = plane.xyz * (-plane[3] / plane.xyz.length_squared)

        w = p0 - p_co
        fac = -(plane * w) / dot
        return p0 + (u * fac)

    return None