如果n阶微分方程的特征根是
λ
1
\lambda_1
λ1、
λ
2
\lambda_2
λ2……
λ
n
\lambda_n
λn且无重根，则系统的模态为：
e
λ
1
e^{\lambda_1}
eλ1、
e
λ
1
e^{\lambda_1}
eλ1……
e
λ
1
e^{\lambda_1}
eλ1
如果特征根中有多重根
λ
\lambda
λ，则系统的模态为
t
λ
t\lambda
tλ、
t
2
λ
t^2\lambda
t2λ……
如果特征根中有复数根
λ
=
σ
+
j
ω
\lambda=\sigma+j\omega
λ=σ+jω，则系统的模态为
e
σ
t
s
i
n
(
ω
t
)
e^{\sigma t}sin(\omega t)
eσtsin(ωt)、
e
σ
t
c
o
s
(
ω
t
)
e^{\sigma t}cos(\omega t)
eσtcos(ωt)
3. 传递函数的零极点
传递函数多项式经因式分解后，分子多项式的零点
z
i
z_i
zi为传递函数的零点，分母多项式的极点
p
i
p_i
pi为传递函数的极点
传递函数的极点可以受输入的激发，在响应中形成自由运动的模态；
传递函数的零点不形成自由运动的模态，但影响各模态在响应中占的比重，因此也影响曲线的形状
4. 二阶系统的欠阻尼阶跃响应
二阶系统开环传递函数的标准形式：
G
(
s
)
=
K
/
s
(
T
m
s
+
1
)
G(s)=K/{s(T_ms+1)}
G(s)=K/s(Tms+1) →闭环传递函数：
Φ
(
s
)
=
ω
n
2
/
(
s
2
+
2
ξ
ω
n
+
ω
n
2
)
\Phi (s)=\omega_n^2/{(s^2+2\xi\omega_n+\omega_n^2)}
Φ(s)=ωn2/(s2+2ξωn+ωn2)，其中
ω
n
=
k
/
T
m
\omega_n=\sqrt{k/T_m}
ωn=k/Tm，
ξ
=
1
/
2
T
m
K
\xi=1/{2\sqrt{T_mK}}
ξ=1/2TmK
