对推力从当前速度矢量到目标矢量的平滑变化进行编程

TL;dr：“我不确定如何计算一个矢量与另一个矢量之间的推力的平滑过渡。”

我正在编写一个简单的游戏，敌人在开放空间（没有墙壁）中追赶玩家。我独立计算敌人的 x 和 y 速度，如果敌人朝着玩家的方向前进，则加速它们；如果敌人走错路，则快速减慢它们（例如 EnemyVelocity.x > 0 & player.x

虽然试图躲避敌人的游戏玩法非常有趣，但我希望让敌人使用适当的物理行为。我目前正在做的是让敌人根据他们和玩家之间的角度设置他们的推力（想想宇宙飞船），并让他们的推力加速到最大速度（计算 EnemyVelocity 三角形的 c 边）。一旦发生这种情况，我不确定让推力自行调整的最佳方法。如果我没有保留最大速度，敌人会很好地加速，但很容易超过玩家，然后需要很长时间才能获得足够的动量返回玩家的方向。

我想要发生的是让敌人在接近玩家的路上不断调整他们的速度，瞄准他们所在的任何地方（我不希望他们预测你会在哪里）。然后，当它们错过玩家时，我希望使用相同的推力和加速度公式来重新调整它们的速度并将它们发送回玩家处。

我认为这将涉及两个向量：一个是敌人当前正在行进的向量，另一个是敌人想要行进的向量（将把他们直接带到玩家那里的向量）。我不知道如何计算一个矢量与另一个矢量之间的推力的平滑过渡。

任何提示、公式或问题将不胜感激！谢谢堆栈溢出。

这一切都回到牛顿方程：

F = m * a
s = s_o + v * t + a * t^2 / 2
v = v_o + a * t

在这种情况下F是力（推力），a是加速度，并且m是船的质量。s是当前位置，s_o是原来的位置，v是速度，并且t是当前时间。

当然，这是沿着一条直线，所以如果你想转换为二维或三维，你必须做一些数学运算。F, s, v, and a都是向量，这意味着它们的方向同样重要。从技术上来说t也是一个向量，但由于时间通常只向一个方向移动，所以我们不必担心这一点。

2d:
F^2 = F_x^2 + F_y^2 (use Pythagorean theorem to split force into components)
F_x = m * a_x
F_y = m * a_y
s_x = s_o_x + v_x * t + a_x * t^2 / 2
s_y = s_o_y + v_y * t + a_y * t^2 / 2
v_x = v_o_x + a_x * t
v_y = v_o_y + a_y * t

3d:
F^2 = F_x^2 + F_y^2 + F_z^2 (surprisingly, this works)
F_x = m * a_x
F_y = m * a_y
F_z = m * a_z
s_x = s_o_x + v_x * t + a_x * t^2 / 2
s_y = s_o_y + v_y * t + a_y * t^2 / 2
s_z = s_o_z + v_z * t + a_z * t^2 / 2
v_x = v_o_x + a_x * t
v_y = v_o_y + a_y * t
v_z = v_o_z + a_z * t

现在要根据玩家的方向调整速度，您需要固定的总力（F）以改变您当前朝向玩家的速度。在物理学中，事情不会立即发生，但你的目标应该是最小化变化发生的时间（“t”）。

这为您提供了一个关于您当前位置的方程式（(s_o_x,s_o_y) or (s_o_x,s_o_y,s_o_z)）以及对手的当前位置或你的目标位置（(s_x,s_y) or (s_x,s_y,s_z)），为您的目标速度（忽略加速度）。

v_x = (s_x - s_o_x) / t
v_y = (s_y - s_o_y) / t

v_x = (s_x - s_o_x) / t
v_y = (s_y - s_o_y) / t
v_z = (s_z - z_o_y) / t

我们可以用这个代替我们的另一个方程：

(s_x - s_o_x) / t = v_o_x + a_x * t
(s_y - s_o_y) / t = v_o_y + a_y * t

(s_x - s_o_x) / t = v_o_x + a_x * t
(s_y - s_o_y) / t = v_o_y + a_y * t
(s_z - z_o_y) / t = v_o_z + a_z * t

然后我们求解加速度（这与力有关，这正是我们要计算的）。

(s_x - s_o_x) / t^2 - v_o_x / t = a_x
(s_y - s_o_y) / t^2 - v_o_y / t = a_y

(s_x - s_o_x) / t^2 - v_o_x / t = a_x
(s_y - s_o_y) / t^2 - v_o_y / t = a_y
(s_z - z_o_y) / t^2 - v_o_z / t = a_z

将其代入力方程：

F_x = m * (s_x - s_o_x) / t^2 - m * v_o_x / t
F_y = m * (s_y - s_o_y) / t^2 - m * v_o_y / t

F_x = m * (s_x - s_o_x) / t^2 - m * v_o_x / t
F_y = m * (s_y - s_o_y) / t^2 - m * v_o_y / t
F_z = m * (s_z - z_o_y) / t^2 - m * v_o_z / t

现在解决t:

t = (-m * v_o_x +/- sqrt(m^2 * v_o_x^2 - 4 * F_x * m * (s_x - s_o_x))) / 2 / F_x
t = (-m * v_o_y +/- sqrt(m^2 * v_o_y^2 - 4 * F_y * m * (s_y - s_o_y))) / 2 / F_y

t = (-m * v_o_x +/- sqrt(m^2 * v_o_x^2 - 4 * F_x * m * (s_x - s_o_x))) / 2 / F_x
t = (-m * v_o_y +/- sqrt(m^2 * v_o_y^2 - 4 * F_y * m * (s_y - s_o_y))) / 2 / F_y
t = (-m * v_o_z +/- sqrt(m^2 * v_o_z^2 - 4 * F_z * m * (s_z - s_o_z))) / 2 / F_z

时代应该会聚，所以时代才会平等！这为我们提供了每个坐标（平面和球体）的方程组。请注意，有多个可能的值，但有些涉及虚数，因此您必须消除这些解决方案：

(-m * v_o_x +/- sqrt(m^2 * v_o_x^2 - 4 * F_x * m * (s_x - s_o_x))) / 2 / F_x
= (-m * v_o_y +/- sqrt(m^2 * v_o_y^2 - 4 * F_y * m * (s_y - s_o_y))) / 2 / F_y
F^2 = F_x^2 + F_y^2

(-m * v_o_x +/- sqrt(m^2 * v_o_x^2 - 4 * F_x * m * (s_x - s_o_x))) / 2 / F_x
= (-m * v_o_y +/- sqrt(m^2 * v_o_y^2 - 4 * F_y * m * (s_y - s_o_y))) / 2 / F_y
= (-m * v_o_z +/- sqrt(m^2 * v_o_z^2 - 4 * F_z * m * (s_z - s_o_z))) / 2 / F_z
F^2 = F_x^2 + F_y^2 + F_z^2

解出(F_x,F_y) or (F_x,F_y,F_z)坐标，您就获得了所需的力量。

如果您有任何疑问或发现我的数学错误，请告诉我。