本文介绍如何使用数轴建模法对质量—弹簧—阻尼系统进行建模分析。
这里涉及的质量块、弹簧、阻尼均为理想器件。
注：实际弹簧还拥有阻尼器的效果，即实际弹簧应该是一个弹簧—阻尼系统。
在分析质量—弹簧—阻尼系统时，应该注意以下两点：
弹簧力方向与位移变化量的方向相反，阻尼力方向与速度变化量的方向相反；
分析哪个点时，就应该从哪边开始减，如下图所示。
若分析A点时，则阻尼器2对于A点的受力情况应为
b
2
(
x
˙
o
−
x
˙
)
b_2(\dot{x}_o-\dot{x})
b2(x˙o−x˙)
若分析B点时，则阻尼器2对于B点的受力情况应为
b
2
(
x
˙
−
x
˙
o
)
b_2(\dot{x}-\dot{x}_o)
b2(x˙−x˙o)
可以发现，两种情况的阻尼力大小相同，但是方向应该不同。由于假设数轴正方向为竖直向下，故位移变化量的正方向也应该向下。 但是由于假设 x > x o x>x_o x>xo，因此第一种情况的实际变化量方向应该向上，而第二种情况则向下。
从更直观的角度考虑以上情况，以分析A点为例，假设 x > x o x>x_o x>xo。对于A点来说，相当于在阻尼器上端把阻尼器向上拉，那么受到的阻尼力方向应该向下。对于B点同理。
上图左图为一个弹簧—阻尼系统，右图为正方向定义为向下的数轴，用于辅助分析。对于弹簧—阻尼系统，通常会假设A点处存在一个质量块 m A m_A mA，这样就可以进行受力分析。
弹簧：弹簧上端向下移动
x
i
x_i
xi，下端向下移动
x
o
x_o
xo，属于两端都有位移的情况。质量块
m
A
m_A
mA受到的弹簧力大小为
k
(
x
o
−
x
i
)
k(x_o-x_i)
k(xo−xi)
方向为竖直向上。 弹簧力方向与位移方向相反。
注：由于假设 x o > x i x_o>x_i xo>xi，故位移变化量的方向为竖直向下。
阻尼器：阻尼器下端固定，上端向下移动
x
o
x_o
xo。质量块
m
A
m_A
mA受到的阻尼力大小为
b
(
x
˙
o
−
0
)
=
b
x
˙
o
b(\dot{x}_o-0)=b\dot{x}_o
b(x˙o−0)=bx˙o
方向为竖直向上。 阻尼力方向与速度方向相反。
注：应该从A点所在端减去另一端，即应为 x ˙ o − 0 \dot{x}_o-0 x˙o−0。
由此可以得到，该弹簧—阻尼系统的微分方程为
−
k
(
x
o
−
x
i
)
−
b
x
˙
o
=
m
A
x
¨
o
-k(x_o-x_i)-b\dot{x}_o=m_A\ddot{x}_o
−k(xo−xi)−bx˙o=mAx¨o
由于A点处的质量可以忽略不计，故上式应为
−
k
(
x
o
−
x
i
)
−
b
x
˙
o
=
0
-k(x_o-x_i)-b\dot{x}_o=0
−k(xo−xi)−bx˙o=0
上图左图为一个质量—弹簧—阻尼系统，右图为正方向定义为向右的数轴。
弹簧：弹簧左端向右移动
x
i
x_i
xi，右端向右移动
x
o
x_o
xo，属于两端都有位移的情况。质量块
m
m
m受到的弹簧力大小为
k
(
x
o
−
x
i
)
k(x_o-x_i)
k(xo−xi)
方向为水平相左。 弹簧力方向与位移方向相反。
阻尼器：阻尼器左端固定，右端向右移动
x
o
x_o
xo。质量块
m
m
m受到的阻尼力大小为
b
(
x
˙
o
−
0
)
=
b
x
˙
o
b(\dot{x}_o-0)=b\dot{x}_o
b(x˙o−0)=bx˙o
方向为水平向左。 阻尼力方向与速度方向相反。
由此可以得到，该弹簧—阻尼系统的微分方程为
−
k
(
x
o
−
x
i
)
−
b
x
˙
o
=
m
x
¨
o
-k(x_o-x_i)-b\dot{x}_o=m\ddot{x}_o
−k(xo−xi)−bx˙o=mx¨o
以上是一个弹簧—阻尼系统，分析方法与单自由度系统相同。假设A点、B点分别有质量块 m A , m B m_A,m_B mA,mB，并假设B处向下移动x。
从下往上分析。
1.对于B点
弹簧2：下端固定，上端向下移动
x
x
x，故弹簧力应为
k
2
x
k_2x
k2x
方向竖直向上。
阻尼器2：下端移动
x
x
x，上端移动
x
o
x_o
xo，故阻尼力应为
b
2
(
x
˙
−
x
˙
o
)
b_2(\dot{x}-\dot{x}_o)
b2(x˙−x˙o)
方向竖直向上。
由此可以得到，该弹簧—阻尼系统的微分方程为
−
k
2
x
−
b
2
(
x
˙
−
x
˙
o
)
=
m
B
x
¨
=
0
-k_2x-b_2(\dot{x}-\dot{x}_o)=m_B\ddot{x}=0
−k2x−b2(x˙−x˙o)=mBx¨=0
2.对于A点
弹簧1：上端向下移动
x
i
x_i
xi，下端向下移动
x
o
x_o
xo，故弹簧力应为
k
1
(
x
o
−
x
i
)
k_1(x_o-x_i)
k1(xo−xi)
方向竖直向上。
阻尼器1：上端向下移动
x
i
x_i
xi，下端向下移动
x
o
x_o
xo，故阻尼力应为
b
1
(
x
˙
o
−
x
˙
i
)
b_1(\dot{x}_o-\dot{x}_i)
b1(x˙o−x˙i)
方向竖直向上。
阻尼器2：下端移动
x
x
x，上端移动
x
o
x_o
xo，故阻尼力应为
b
2
(
x
˙
o
−
x
˙
)
b_2(\dot{x}_o-\dot{x})
b2(x˙o−x˙)
方向竖直向上。由于
x
>
x
o
x>x_o
x>xo，速度变化量方向为竖直向上，故实际受力方向应为竖直向下。
由此可以得到，该弹簧—阻尼系统的微分方程为
−
k
1
(
x
o
−
x
i
)
−
b
1
(
x
˙
o
−
x
˙
i
)
−
b
2
(
x
˙
o
−
x
˙
)
=
m
A
x
¨
=
0
-k_1(x_o-x_i)-b_1(\dot{x}_o-\dot{x}_i)-b_2(\dot{x}_o-\dot{x})=m_A\ddot{x}=0
−k1(xo−xi)−b1(x˙o−x˙i)−b2(x˙o−x˙)=mAx¨=0
或者为
−
k
1
(
x
o
−
x
i
)
−
b
1
(
x
˙
o
−
x
˙
i
)
+
b
2
(
x
˙
−
x
˙
o
)
=
m
A
x
¨
=
0
-k_1(x_o-x_i)-b_1(\dot{x}_o-\dot{x}_i)+b_2(\dot{x}-\dot{x}_o)=m_A\ddot{x}=0
−k1(xo−xi)−b1(x˙o−x˙i)+b2(x˙−x˙o)=mAx¨=0
参考资料：白艳艳,张晓俊.建立弹簧-质量-阻尼系统数学模型的数轴法[J].噪声与振动控制,2012,32(03):59-62.
