在 MATLAB 中数值计算复值函数的导数

我想在 MATLAB 中以数值方式计算复值函数（全纯函数）的导数。

我已经计算了复平面上网格中的函数，并且尝试使用柯西-黎曼关系来计算导数。

鉴于： u = 实数（f），v = imag（f），x = 实数（点），y = imag（点）

导数应由下式给出： f' = du/dx + i dv/dx = dv/dy - i du/dy

其中“d”是导数运算符。

我尝试过以下代码：

stepx = 0.01;
stepy = 0.01;
Nx = 2/stepx +1;
Ny = 2/stepy +1;
[re,im] = meshgrid([-1:stepx:1], [-1:stepy:1]);
cplx = re + 1i*im;
z = cplx.^3;

导数应由下式给出：

f1 = diff(real(z),1,2)/stepx +1i* diff(imag(z),1,2)/stepx;

or

f2 = diff(imag(z),1,1)/stepy - 1i* diff(real(z),1,1)/stepy;

但是这两个导数本应相等，但并不匹配。

我究竟做错了什么？

让我们计算差异小于stepx的元素数量（假设stepx=stepy）：

lm = min(size(f1));
A = f1(1:lm,1:lm);
B = f2(1:lm,1:lm);

sum(sum(abs(A - B) <= stepx))

并使用@A 提出的修复。唐达

f1i = interp1(1 : Ny, f1, 1.5 : Ny);
f2i = interp1(1 : Nx, f2 .', 1.5 : Nx) .';

sum(sum(abs(f1i - f2i) <= stepx))

在第二种情况下，它们的差异都小于stepx，而在第一种情况下，情况并非如此。

问题是，使用两个不同的表达式（在 Matlab 中进行离散化），您正在计算复平面中不同点的近似导数。假设您处于虚数 y 并计算沿实轴 x 的差值，则第 i 个差值估计为(x(i) + x(i + 1))/2，即两个后续 x 值之间的所有中点。相反，您可以估计给定 x 处但两个后续 y 值之间的所有中点处的导数。

这也导致所得矩阵的大小不同。使用第一个公式，您将得到一个大小为 201x200 的矩阵，另一个大小为 200x201 的矩阵。这是因为在第一个变体中，沿 x 方向有 200 个中点，但 y 值有 201 个，反之亦然。

所以答案是，你没有做错任何事，你只是错误地解释了结果。

您可以通过沿另一个维度（不用于导数的维度）显式插值来解决该问题：

f1i = interp1(1 : Ny, f1, 1.5 : Ny);
f2i = interp1(1 : Nx, f2 .', 1.5 : Nx) .';

Where f1根据您的第一个公式计算并且f2根据第二个。现在，两个导数都在两个维度的中点处进行计算，这就是两个矩阵大小均为 200x200 的原因。

如果你现在比较它们，你会发现它们在数值误差上是相同的（毕竟，diff仅计算近似导数并且interp1会产生插值错误）。对于您的步长，此误差最大为 1e-4，并且可以通过使用更小的步长来进一步减小。