首先，这篇文章是看了几个大神的博客后，自己抄录以及整理的内容，其中有些自己的想法，但是原理部分基本都是学习大神们的，在此先说明一下。
在介绍LQR之前，首先，先回顾一下现在控制理论中的基本的控制器 —————— 全状态反馈控制，上图
假设有一个线性系统用状态向量表示：
{
x
˙
=
A
x
+
B
u
y
=
C
x
+
D
u
(1)
\begin{cases} \dot{x} = Ax + Bu & \\ y = Cx + Du & \end{cases} \tag{1}
{x˙=Ax+Buy=Cx+Du(1)
其中，
x
(
t
)
∈
R
n
x(t) \in R^n
x(t)∈Rn，
u
(
t
)
∈
R
m
u(t) \in R^m
u(t)∈Rm，初始条件是
x
(
0
)
x(0)
x(0)。
在此，我们需要设计一个状态反馈控制器
u
=
−
K
x
(2)
u = -Kx \tag{2}
u=−Kx(2)
使上述控制器能达到期望的稳定性能，将式(2)带入系统状态方程(1)中，有
x
˙
=
(
A
−
B
K
)
x
=
A
c
x
(3)
\dot{x} = (A - BK)x = A_{c}x \tag{3}
x˙=(A−BK)x=Acx(3)
设定系统中的各个状态量都可知，式(1)所示的开环系统，传递函数的极点就是系统矩阵A的特征值。现在变换成了式(2)的闭环形式，通过配置反馈矩阵
K
K
K，可以使得闭环系统达到所期望的系统状态。(注意，这种控制器设计与矩阵C、D没什么关系)
SO，来了一个新的问题，极点在什么样的位置会使得系统的性能较好呢？并且，当系统变量很多的时候，就算设计极点已经达到了最优，矩阵K的计算如何计算呢？
因此，LQR提供了如下思路。
LQR的目标就是找到一组控制量
u
0
,
u
1
,
.
.
.
u_0,u_1,...
u0,u1,...，使得同时有
x
0
,
x
1
,
.
.
.
x_0,x_1,...
x0,x1,...足够小(系统达到稳定状态)，
u
0
,
u
1
,
.
.
.
u_0,u_1,...
u0,u1,...足够小(控制量尽量小的变化)，选取代价函数为
J
=
1
2
∫
0
∞
x
T
Q
x
+
u
T
R
u
d
t
(4)
J = {1 \over 2}\int_0^\infty {x^TQx + u^TRu} \space dt \tag{4}
J=21∫0∞xTQx+uTRu dt(4)
其中，Q、R就是需要设计的半正定矩阵和正定矩阵。
看上式(4)是不是线代中的二次型(线代真的是一门重要的学科，工程中大量都是线代的运算)，而且还是那种只有平方项的二次型，这样就成了最小二乘法的问题。代价函数
J
J
J需要达到最小值，那么在
t
t
t趋近于无穷时，状态向量
x
(
t
)
x(t)
x(t)肯定趋近于0，即是达到了系统稳态；同理，
t
t
t趋近于无穷时，控制向量
u
(
t
)
u(t)
u(t)也会趋近于0，意味着，随着时间的推移，需要对系统施加的控制量会越来越小，意味着使用最小的控制量使得系统达到了最终控制目标。
下面来聊聊Q、R值的选取，一般来说，选取Q、R矩阵的时候，为了方便观察各个系统状态量而选取对角阵，增加Q的一个值，意味着这个值作用的系统状态量，将以更快的速度衰减到0，这时候，举个栗子还是很必要的，比如， Q 11 Q_{11} Q11选取较大的值，会让 x 1 x_1 x1很快的衰减到0；另外一方面，加大 R R R的值，会使得对应的控制量减小，控制器执行更少的动作，意味着系统的状态衰减将变慢。所以， Q 、 R Q、R Q、R的选取，要综合看具体的实际应用场景来调节，俗话说，鱼和熊掌不可兼得，这个矛盾就像做的轨迹跟踪MPC中的设置不同的权重一样，期望车辆后轴心cte值越小，那么到了转弯处必须要很大幅度的刹车，以及打方向盘，速度以及yaw都会大幅度变化，而如果期望执行器动作越小，那么就无法保证cte的准确度一样。
好了，上面介绍了一些参数的意义问题，下面重点就是公式的推导了，在不同大神那看到了不同的推导方式，下面就把自己比较欣赏的一种写出来吧，虽说过程也很重要，但是工程嘛，只要结果对，效果好，选个自己看起来舒服的方式就好了，开始推导过程
上面，从理论以及公式推导两个方面，介绍了LQR，现在从头看一下LQR的思路：
MPC和LQR两种控制方式有很多的相似之处，但是也有很多不相同的地方，
Reference：
