LQR控制律设计

LQR全称为Linear Quadratic Regulator，即线性二次型调节器。

（一）有限时域最优调节器设计

设线性系统被控对象的离散化状态方程为：

初始条件。

给定二次型性能指标函数：

LQR的任务是寻求最优控制序列，在把系统从初始状态转移到的过程中，使性能指标函数最小。

求解二次型最优控制问题可采用变分法、动态规划法等方法，这里采用离散动态规划法来求解。

动态规划的基本思想是：将一个多级决策过程转变为求解多个单级决策优化问题，这里需要决策的是控制变量。

令二次型性能指标函数：

其中，。

下面从最后一级往前逐级求解最优控制序列。

由上式可得：

首先求解，使得最小。令：

解得：

式中，

同时可以得到：

式中，

依次可求得。

综上，计算的公式归纳如下：

式中。

最优性能指标为：

满足上式的最优控制一定存在且是唯一的。

（二）无限时域最优调节器设计

设线性系统被控对象的离散化状态方程为：

初始条件。

当时，性能指标函数简化为：

其中Q是非负定对称矩阵，R是正定对称矩阵，假定系统[A,B]能控和能观，设P(k)是如下黎卡提（Riccati）方程的解：

那么，下列结论成立：

• 对于任意非负定对称矩阵，存在，且是与无关的常数矩阵。
• P是如下黎卡提（Riccati）方程的唯一正定解。

• 稳态控制律

        是使上面性能指标函数极小的最优反馈控制律，最优性能指标函数为：

• 所求得的最优控制律使得闭环系统渐近稳定。

当终端时间时，矩阵趋于某个常数矩阵，因此反馈矩阵也为常数矩阵，便于工程实现。

附录  同济大学《线性代数》中关于正定和负定的定义及相关说明