自动控制原理——期末题型总结

2023-05-16

二阶系统指标计算

劳斯表判断系统稳定

根轨迹绘制

绘制伯德图求相位裕量

二阶系统指标计算

已知单位负反馈系统开环传递函数 Wk(s) = $\frac{4}{s(s+1)}$

求 1.最大超调量 $\delta$ %，调节时间 $t_{s}$ (95%)

2.r(t) 为单位阶跃求稳态误差 $e_{ss}$ ，并求位置误差系数 $K_{p}$

3.判定其阻尼状态

1)解题公式

1.已知二阶系统传函标准式：

$W_{B}(s)$ = $\frac{w_{n}^{2}}{s^{2}+2\xi w_{n}s+w_{n}}$

$W_{K}(s)$ = $\frac{w_{n}^{2}}{s(s+2\xi w_{n})}$

2.最大超调量 $\delta$ %公式

$\delta$ %= $e^{\frac{-\xi \pi }{\sqrt{1-\xi ^{2}}}}$ x 100%

3.调节时间

$t_{s}$ (5%) = $\frac{3}{\xi w_{n}}$ $t_{s}$ (2%) = $\frac{4}{\xi w_{n}}$

4.上升时间

$t_{r}$ = $\frac{\pi-\theta }{w_{n}\sqrt{1-\xi^{2}}}$

5.峰值时间

$t_{m}$ = $\frac{\pi }{w_{n}\sqrt{1-\xi^{2}}}$

6.振荡次数

$\mu =\frac{t_{s}}{\frac{2\pi}{w_{n}\sqrt{1-\xi^{2}}}}$

1)答案

$\because$ 开环函数为 Wk(s) = $\frac{4}{s(s+1)}$

$\therefore$ $\left\{\begin{matrix} w_{n}=4&\\&\\2\xi w_{n}=1&\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ $w_{n}=2$ $\xi = \frac{1}{4}$

最大超调量为 $\delta$ %= $e^{\frac{-\xi \pi }{\sqrt{1-\xi ^{2}}}}$ x 100%

带入得 $\delta$ %=44.4%

调节时间公式 $t_{s}$ (5%) = $\frac{3}{\xi w_{n}}$

代入得 $t_{s}$ (5%) =6s

2)解题表格

$X_{r}(t)$	1		t		$\frac{1}{2}t^{2}$
系统	$K_{p}$	$e_{ss}$	$K_{v}$	$e_{ss}$	$K_{a}$	$e_{ss}$
0型	$K_{k}$	$\frac{1}{1+K_{k}}$	0	$\infty$	0	$\infty$
1型	$\infty$	0	$K_{k}$	$\frac{1}{K_{k}}$	0	$\infty$
2型	$\infty$	0	$\infty$	0	$K_{k}$	$\frac{1}{K_{k}}$

2)答案

由查表得

$e_{ss}$ =0 $K_{p}$ = $\infty$

3)解题表格

分类	过阻尼	临界阻尼	欠阻尼	无阻尼	负阻尼
$\xi$	$\xi >1$	$\xi =1$	$0<\xi <1$	$\xi =0$	$\xi <0$
稳定性	稳定	稳定	稳定	临界稳定	不稳定

3）答案

$\xi=\frac{1}{4}$ $0<\xi<1$ 为欠阻尼状态

劳斯表判断系统稳定

情况一

$S^{4}+2S^{3}+S^{2}+2S+1=0$

$S^{4}$ 1 1 1

$S^{3}$ 2 2

$S^{2}$ $\varepsilon (\approx 0)$ 1

$S^{1}$ $2-\frac{2}{\varepsilon }$

$S^{0}$ 1

当 $\varepsilon \rightarrow 0$ 时 $2-\frac{2}{\varepsilon }$ 值是一个很大的负数因此符号改变两次，得出结论

该系统有两个根具有正实部，系统式不稳定的

情况二

$S^{3}+2S^{2}+S+2=0$

$S^{3}$ 1 1

$S^{2}$ 2 2

$S^{1}$ $\varepsilon (\approx 0)$

$S^{0}$ 2

可以看出，第一列各元素 $\varepsilon$ 的上面和下面的系数符号不变，故有一对虚根。

将特征方程式分解

$(S^{2}+1)(S+2)=0$

特征根

$-P_{1,2}=\pm j$ $-P_{3}=-2$

情况三

$S^{6}+2S^{5}+8S^{4}+12S^{3}+20S^{2}+16S+16=0$

劳斯表中得 $S^{6} --S^{3}$ 各元素

$S^{6}$ 1 8 20 16

$S^{5}$ 2 12 16 0

$S^{4}$ 1 6 8

$S^{3}$ 0 0 0

由上表可以看出， $S^{3}$ 行得各项全为零，为了求出 $S^{3}-S^{0}$ 各项将 $S^{4}$ 行得各元

素构成辅助方程式

$P(s) = S^{4} + 6S^{2} +8$

他的导函数为：

$\frac{dP(S)}{dS}=4S^{3}+12S$

用导函数系数 4 与 12代替 $S^{3}$ 行相应元素继续计算得劳斯表

$S^{6}$ 1 8 20 16

$S^{5}$ 2 12 16 0

$S^{4}$ 1 6 8

$S^{3}$ 4 12

$S^{2}$ 3 8

$S^{1}$ $\frac{4}{3}$

$S^{0 }$ 8

系统稳定

根轨迹绘制

绘制根轨迹 $W_{k(s)}=\frac{k}{S(S+3)(S^{2}+2S+2)}$

答案

起始点 0 -3 -1-j 1+j

终点 $\infty$

实轴上得根轨迹 [-3,0]

分离点与汇合点

$D(S)=S^{4}+5S^{3}+8S^{2}+6S$

$N(S)=1$

得 $4S^{3}+15S^2+16S+6=0$

计算得 S=-2.32（分离点）

渐近线

$\varphi =\frac{\pm \pi (1+2k)}{n-m} = \pm \frac{\pi}{4},\pm\frac{3\pi}{4}$

$-\sigma _{k}=\frac{\sum_{j=1}^{n}P_{j}-\sum_{i=1}^{m}Z_{i}}{n-m}=\frac{-3-1+j-1-1}{4}=-1.25$

出射角

$-1+j$

$\beta_{sc1}=\pi-[\sum_{j=1}^{n-1}\beta _{j}-\sum_{i=1}^{m}\alpha _{i}]$

$=\pi-[\sum_{i=1}^{n}\angle (P_{l}-P_{i})-\sum_{j=1}^{m}\angle (P_{l}-Z_{i})]$

$=\pi-[\angle [-1-j-(-1+j)]+\angle [-1-j-(-3)]+\angle [-1-j-(0)]]$

$=\pi-(\frac{\pi}{2}+arctan0.5+\frac{3\pi}{4})$

$=-71.6$

$\therefore \beta _{sc2}=71.6$

与虚轴交点

$S^{4}+5S^{3}+8S^{2}+6S+K=0$

劳斯表

$S^{4}$ 1 8 K

$S^{3}$ 5 6

$S^{2}$ 6.8 K

$S^{1}$ 6-0.735K

$S^{0}$ K

令 $S^{1}$ 行

6-0.735K=0

得 K=8.16

辅助方程

$6.8S^{2}+K=0$

得 $S_{1,2}=\pm 1.1j$

绘制伯德图求相位裕量

解题表格

低频
类型	比例	积分	微分	N个积分	N个微分
$W_{jw}$	$K$	$\frac{1}{jw}$	$jw$	$\frac{1}{jw^{N}}$	$jw^{N}$
斜率(dB/dec)	0	-20	20	-20N	20N

高频

类型	惯性	一阶微分	振荡	二阶微分
$W_{jw}$	$\frac{1}{Tjw+1}$	$Tjw+1$	$\frac{1}{(Tjw)^{2}+2T\xi jw+1}$	$(Tjw)^{2}+2T\xi jw+1$
斜率(dB/dec)	-20	20	-40	40

解题

$W_{k}(s)=\frac{50(s+2)}{s^{2}(s+10)}$ 绘制伯德图求相位裕量

化为标准式 $W_{k}(s)=\frac{10(\frac{1}{2}s+1)}{s^{2}(\frac{1}{10}s+1)}$

交接频率： $\frac{1}{T}$ 得 $w_{1}=2$ $w_{2}=10$

当 $w=1$ 时 $L(w)=20lgk=20log10=20$

$\therefore A(1,20)$

低频段

2个积分环节 $\therefore$ 直线斜率 -40dB/dec

高频段

$w=2$ 时斜率变为 -20dB/dec

$w=10$ 时斜率变为-40dB/dec

相频特性

$\varphi (w)=arctan\frac{1}{2}w-arctan\frac{1}{10}w-\pi$

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