前面的YOLOv2推文详细讲解了YOLOv2的算法原理，但官方论文没有像YOLOv1那样提供YOLOv2的损失函数，难怪Ng说YOLO是目标检测中最难懂的算法。今天我们尝试结合DarkNet的源码来分析YOLOv2的损失函数。
YOLOv2借鉴RPN网络使用Anchor boxes来预测边界框相对于先验框的offsets。边界框的实际中心位置
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y)需要利用预测的坐标偏移值
(
t
x
,
t
y
)
(t_x,t_y)
(tx,ty)，先验框的尺度
(
w
a
,
h
a
)
(w_a,h_a)
(wa,ha)以及中心坐标
(
x
a
,
y
a
)
(x_a,y_a)
(xa,ya)来计算，这里的
x
a
x_a
xa和
y
a
y_a
ya也即是特征图每个位置的中心点：
上面的公式也是Faster-RCNN中预测边界框的方式。但上面的预测方式是没有约束的，预测的边界框容易向任何方向偏移，例如当
t
x
=
1
t_x=1
tx=1时边界框将向右偏移Anchor的一个宽度大小，导致每个位置预测的边界框可以落在图片的任意位置，这就导致模型训练的不稳定性，在训练的时候要花很长时间才可以得到正确的offsets。以，YOLOv2弃用了这种预测方式，而是沿用YOLOv1的方法，就是预测边界框中心点相对于对应cell左上角位置的相对偏移值，为了将边界框中心点约束在当前cell中，使用sigmoid函数处理偏移值，这样预测的偏移值在(0,1)范围内（每个cell的尺度看做1）。
综上，根据边界框预测的4个偏移值
t
x
,
t
y
,
t
w
,
t
h
t_x,t_y,t_w,t_h
tx,ty,tw,th，可以使用如下公式来计算边界框实际中心位置和长宽，公式在图中：
其中，
(
c
x
,
c
y
)
(c_x,c_y)
(cx,cy)为cell的左上角坐标。在Fig3中，当前的cell的左上角坐标为
(
1
,
1
)
(1,1)
(1,1)。由于
s
i
g
m
o
i
d
sigmoid
sigmoid函数的处理，边界框的中心位置会被约束在当前cell的内部，防止偏移过多，然后
p
w
p_w
pw和
p
h
p_h
ph是先验框的宽度与高度，它们的值也是相对于特征图（这里是13*13，我们把特征图的长宽记作H，W）大小的，在特征图中的cell长宽均为1。这样我们就可以算出边界框相对于整个特征图的位置和大小了，公式如下：
b
x
=
(
σ
(
t
x
)
+
c
x
)
/
W
b_x=(\sigma(t_x)+c_x)/W
bx=(σ(tx)+cx)/W
b
y
=
(
σ
(
t
y
)
+
c
y
)
/
H
b_y=(\sigma(t_y)+c_y)/H
by=(σ(ty)+cy)/H
b
w
=
p
w
e
t
w
/
W
b_w=p_we^{t_w}/W
bw=pwetw/W
b
h
=
p
h
e
t
h
/
H
b_h=p_he^{t_h}/H
bh=pheth/H
我们如果将上面边界框的4个值乘以输入图像长宽，就可以得到边界框在原图中的位置和大小了。
YOLOv2提取Darknet-19最后一个max pool层的输入，得到26x26x512的特征图。经过1x1x64的卷积以降低特征图的维度，得到26x26x64的特征图，然后经过pass through层的处理变成13x13x256的特征图（抽取原特征图每个2x2的局部区域组成新的channel，即原特征图大小降低4倍，channel增加4倍），再与13x13x1024大小的特征图连接，变成13x13x1280的特征图，最后在这些特征图上做预测。使用Fine-Grained Features，YOLOv2的性能提升了1%。这个过程可以在下面的YOLOv2的结构图中看得很清楚：
这个地方今天还要补充一点，那就是passthrough层到底是怎么操作的，在DarkNet中passthough层叫作reorg_layer，可以用下图来表示这个操作：
上篇推文讲了YOLOv2的训练分为三个阶段，具体就不再赘述了。这里主要重新关注一下训练后的维度变化，我们从上一小节可以看到最后YOLOv2的输出维度是
13
×
13
×
125
13\times 13\times 125
13×13×125。这个125使用下面的公式来计算的：
n
u
m
a
n
c
h
o
r
s
×
(
5
+
n
u
m
c
l
a
s
s
e
s
)
num_{anchors}\times (5+num_{classes})
numanchors×(5+numclasses)
和训练采用的数据集有关系。由于anchors数为5，对于VOC数据集输出的channels数就是125，而对于COCO数据集则为425。这里以VOC数据集为例，最终的预测矩阵为 T T T，shape为 [ b a t c h s i z e , 13 , 13 , 125 ] [batch_{size},13,13,125] [batchsize,13,13,125]，可以将其reshape成 [ b a t c h s i z e , 13 , 13 , 5 , 25 ] [batch_{size},13,13,5,25] [batchsize,13,13,5,25]，这样 T [ : , : , : , : , 0 : 4 ] T[:,:,:,:,0:4] T[:,:,:,:,0:4]是边界框的位置和大小 ( t x , t y , t w , t h ) (t_x,t_y,t_w,t_h) (tx,ty,tw,th)， T [ : , : , : , : , 4 ] T[:,:,:,:,4] T[:,:,:,:,4]表示边界框的置信度 t o t_o to，而 T [ : , : , : , : , 5 : ] T[:,:,:,:,5:] T[:,:,:,:,5:]表示类别预测值。
接下来就说一说今天的主题，损失函数。损失函数我看网上的众多讲解，发现有两种解释。
YOLOv2的损失函数和YOLOv1一样，对于训练集中的ground truth，中心落在哪个cell，那么该cell的5个Anchor box对应的边界框就负责预测它，具体由哪一个预测同样也是根据IOU计算后卡阈值来确定的，最后选IOU值最大的那个。这也是建立在每个Cell至多含有一个目标的情下，实际上也基本不会出现多余1个的情况。和ground truth匹配上的先验框负责计算坐标误差，置信度误差以及分类误差，而其它4个边界框只计算置信度误差。这个解释参考的YOLOv2实现是darkflow.源码地址为：https://github.com/thtrieu/darkflow
在官方提供的Darknet中，YOLOv2的损失函数可以不是和YOLOv1一样的，损失函数可以用下图来进行表示：
可以看到这个损失函数是相当复杂的，损失函数的定义在Darknet/src/region_layer.c中。对于上面这一堆公式，我们先简单看一下，然后我们在源码中去找到对应部分。这里的
W
W
W和
H
H
H代表的是特征图的高宽，都为
13
13
13，而A指的是Anchor个数，YOLOv2中是5，各个
λ
\lambda
λ值是各个loss部分的权重系数。我们将损失函数分成3大部分来解释：
我看了一篇讲解YOLOv2损失函数非常好的文章：https://www.cnblogs.com/YiXiaoZhou/p/7429481.html 。里面还有一个关键点：
在计算boxes的 w w w和 h h h误差时，YOLOv1中采用的是平方根以降低boxes的大小对误差的影响，而YOLOv2是直接计算，但是根据ground truth的大小对权重系数进行修正：l.coord_scale * (2 - truth.w*truth.h)（这里 w w w和 h h h都归一化到(0,1))，这样对于尺度较小的 b o x e s boxes boxes其权重系数会更大一些，可以放大误差，起到和YOLOv1计算平方根相似的效果。
贴一下YOLOv2在Keras上的复现代码，地址为：https://github.com/yhcc/yolo2 。网络结构如下，可以结合上面可视化图来看：
def darknet(images, n_last_channels=425):
"""Darknet19 for YOLOv2"""
net = conv2d(images, 32, 3, 1, name="conv1")
net = maxpool(net, name="pool1")
net = conv2d(net, 64, 3, 1, name="conv2")
net = maxpool(net, name="pool2")
net = conv2d(net, 128, 3, 1, name="conv3_1")
net = conv2d(net, 64, 1, name="conv3_2")
net = conv2d(net, 128, 3, 1, name="conv3_3")
net = maxpool(net, name="pool3")
net = conv2d(net, 256, 3, 1, name="conv4_1")
net = conv2d(net, 128, 1, name="conv4_2")
net = conv2d(net, 256, 3, 1, name="conv4_3")
net = maxpool(net, name="pool4")
net = conv2d(net, 512, 3, 1, name="conv5_1")
net = conv2d(net, 256, 1, name="conv5_2")
net = conv2d(net, 512, 3, 1, name="conv5_3")
net = conv2d(net, 256, 1, name="conv5_4")
net = conv2d(net, 512, 3, 1, name="conv5_5")
shortcut = net
net = maxpool(net, name="pool5")
net = conv2d(net, 1024, 3, 1, name="conv6_1")
net = conv2d(net, 512, 1, name="conv6_2")
net = conv2d(net, 1024, 3, 1, name="conv6_3")
net = conv2d(net, 512, 1, name="conv6_4")
net = conv2d(net, 1024, 3, 1, name="conv6_5")
# ---------
net = conv2d(net, 1024, 3, 1, name="conv7_1")
net = conv2d(net, 1024, 3, 1, name="conv7_2")
# shortcut
shortcut = conv2d(shortcut, 64, 1, name="conv_shortcut")
shortcut = reorg(shortcut, 2)
net = tf.concat([shortcut, net], axis=-1)
net = conv2d(net, 1024, 3, 1, name="conv8")
# detection layer
net = conv2d(net, n_last_channels, 1, batch_normalize=0,
activation=None, use_bias=True, name="conv_dec")
return net
然后，网络经过我们介绍的损失函数优化训练以后，对网络输出结果进行解码得到最终的检测结果，这部分代码如下：
def decode(detection_feat, feat_sizes=(13, 13), num_classes=80,
anchors=None):
"""decode from the detection feature"""
H, W = feat_sizes
num_anchors = len(anchors)
detetion_results = tf.reshape(detection_feat, [-1, H * W, num_anchors,
num_classes + 5])
bbox_xy = tf.nn.sigmoid(detetion_results[:, :, :, 0:2])
bbox_wh = tf.exp(detetion_results[:, :, :, 2:4])
obj_probs = tf.nn.sigmoid(detetion_results[:, :, :, 4])
class_probs = tf.nn.softmax(detetion_results[:, :, :, 5:])
anchors = tf.constant(anchors, dtype=tf.float32)
height_ind = tf.range(H, dtype=tf.float32)
width_ind = tf.range(W, dtype=tf.float32)
x_offset, y_offset = tf.meshgrid(height_ind, width_ind)
x_offset = tf.reshape(x_offset, [1, -1, 1])
y_offset = tf.reshape(y_offset, [1, -1, 1])
# decode
bbox_x = (bbox_xy[:, :, :, 0] + x_offset) / W
bbox_y = (bbox_xy[:, :, :, 1] + y_offset) / H
bbox_w = bbox_wh[:, :, :, 0] * anchors[:, 0] / W * 0.5
bbox_h = bbox_wh[:, :, :, 1] * anchors[:, 1] / H * 0.5
bboxes = tf.stack([bbox_x - bbox_w, bbox_y - bbox_h,
bbox_x + bbox_w, bbox_y + bbox_h], axis=3)
return bboxes, obj_probs, class_probs
这个损失函数最难的地方应该是YOLOv2利用sigmoid函数计算默认框坐标之后怎么梯度回传，这部分可以看下面的代码(来自Darknet源码)：
// box误差函数，计算梯度
float delta_region_box(box truth, float *x, float *biases, int n, int index, int i, int j, int w, int h, float *delta, float scale, int stride)
{
box pred = get_region_box(x, biases, n, index, i, j, w, h, stride);
float iou = box_iou(pred, truth);
// 计算ground truth的offsets值
float tx = (truth.x*w - i);
float ty = (truth.y*h - j);
float tw = log(truth.w*w / biases[2*n]);
float th = log(truth.h*h / biases[2*n + 1]);
delta[index + 0*stride] = scale * (tx - x[index + 0*stride]);
delta[index + 1*stride] = scale * (ty - x[index + 1*stride]);
delta[index + 2*stride] = scale * (tw - x[index + 2*stride]);
delta[index + 3*stride] = scale * (th - x[index + 3*stride]);
return iou;
}
结合一下我们前面介绍的公式，这就是一个逆过程，现在是不是清晰一些了？有任何问题欢迎在留言区和我讨论哦。
今天就介绍到这里了，YOLOv2的损失函数实现都在region_layer.c里面了，同时推荐一下我的一个Darknet源码解析项目，我会在里面努力解析YOLO目标检测算法的细节，地址为：https://github.com/BBuf/Darknet 。明天开始讲解YOLOv3，后面安排一下YOLOv3的实战，就用NCNN和YOLOv3为例子吧。
https://zhuanlan.zhihu.com/p/35325884
https://www.cnblogs.com/YiXiaoZhou/p/7429481.html
https://github.com/yhcc/yolo2
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