SLAM笔记（九）再谈李代数

内容接SLAM笔记（一）SLAM中的数学概览
李群：
定义：实数空间上的连续群(对乘法、逆都是连续的，解析的)
举例：如GL(n)，SO(n)，SE(n）

李代数(Lie algebra):
定义：由一个集合，一个数域，和一个二元运算[]组成；满足封闭、双线性、自反性、雅克比等价。

如3D中的叉乘： g = ( R 3 , R , × ) g = (R^3,R,\times) g=(R3,R,×)就属于一个李代数。

李代数定义于李群的正切空间上，描述了李群中元素局部性质。在刚体运动SE(3)中，李代数表征某处的速度（在后边会具体分析）
举例:so(3),se(3)

1.李群求导

运算为李括号： [ w ^ , v ^ ] = w ^ v ^ − v ^ w ^ [\hat w,\hat v] = \hat w \hat v -\hat v \hat w [w^,v^]=w^v^−v^w^

对于旋转矩阵R(t)(t指代角度)，由于R(0) = I,所以旋转矩阵可以一阶近似表示：
R ( t 0 + d t ) = R ( t 0 ) + d R = I + w ^ ( t 0 ) d t R(t_0+dt) = R(t_0)+dR = I + \hat w(t_0)dt R(t0​+dt)=R(t0​)+dR=I+w^(t0​)dt
若 t 0 t_0 t0​ = 0:
R ( d t ) = R ( 0 ) + d R = I + w ^ ( 0 ) d t R(dt) = R(0)+dR = I + \hat w(0)dt R(dt)=R(0)+dR=I+w^(0)dt

其中 w ^ ( t ) \hat w(t) w^(t)是一个关于角速度向量 w ( t ) = [ u