题型：
步骤：f是F的导数，对F求导即可得到f。
例1：
解：
例2：
解：
题型：已知f(x)，求f(y)
步骤：（注意，要满足要求：Y=g(X)满足单增或单减才能用公式法）
看起来有点抽象，我们看一道例题：
此题中Y=g(X)是Y=2X，是单增的，所以可以用公式法。
第一步：通过Y=g(X)得出X=h(Y):
X
=
Y
2
X=\frac{Y}{2}
X=2Y
第二步：用h(Y)替换f(x)各式子中的x。
原
式
为
f
X
(
x
)
=
{
0
,
x
≤
0
e
−
x
,
x
>
0
X
=
Y
2
替
换
后
f
X
(
x
)
=
{
0
,
y
≤
0
e
−
y
2
,
y
>
0
原式为 f_X(x)= \begin{cases} 0,x\le0\\ e^{-x},x>0 \end{cases} \\\\X=\frac{Y}{2}替换后 \\ \\ f_X(x)= \begin{cases} 0,y\le0\\ e^{-\frac{y}{2}},y>0 \end{cases}
原式为fX(x)={0,x≤0e−x,x>0X=2Y替换后fX(x)={0,y≤0e−2y,y>0
第三步：在f(x)各式子的末尾后乘上|h’(y)|
f
X
(
x
)
=
{
0
∗
∣
(
y
2
)
′
∣
,
y
≤
0
e
−
y
2
∗
∣
(
y
2
)
′
∣
,
y
>
0
f_X(x)= \begin{cases} 0*|(\frac{y}{2})'|,y\le0\\ e^{-\frac{y}{2}}*|(\frac{y}{2})'|,y>0 \end{cases}
fX(x)={0∗∣(2y)′∣,y≤0e−2y∗∣(2y)′∣,y>0
第四步：将f(x)变成f(y)
f
X
(
x
)
=
{
0
,
y
≤
0
1
2
e
−
y
2
,
y
>
0
f_X(x)= \begin{cases} 0,y\le0\\ \frac{1}{2}e^{-\frac{y}{2}},y>0 \end{cases}
fX(x)={0,y≤021e−2y,y>0
答案：
步骤：求偏导
例题1：
解：
求偏导：
如果一个（对x、y）求偏导的式子并不是既有x又有y，那么它的偏导就是0.
如果既有x又有y，那么正常求即可。
因此答案：
步骤：有三种求法：普通求法、公式法(消x、消y)
看一道例题：
我们以公式法（消y）来举例子：
第一步：
Z
=
X
+
2
Y
=
>
Y
=
Z
−
X
2
=
>
y
=
z
−
x
2
Z=X+2Y => Y=\frac{Z-X}{2} =>y=\frac{z-x}{2}
Z=X+2Y=>Y=2Z−X=>y=2z−x
第二步：
原
式
为
f
(
x
,
y
)
=
{
2
e
−
(
x
+
2
y
)
,
x
>
0
,
y
>
0
0
,
其
他
替
换
后
f
(
x
,
y
)
=
{
2
e
−
(
x
+
2
∗
(
z
−
x
2
)
)
∗
∣
∂
z
−
x
2
∂
z
∣
,
x
>
0
,
z
−
x
2
>
0
0
,
其
他
化
简
后
f
(
x
,
y
)
=
{
e
−
z
,
x
>
0
,
z
−
x
2
>
0
0
,
其
他
原式为 f(x,y)= \begin{cases} 2e^{-(x+2y)},x>0,y>0\\ 0,其他\\ \end{cases} \\替换后 \\ f(x,y)= \begin{cases} 2e^{-(x+2*(\frac{z-x}{2}))}*|\frac {\partial \frac{z-x}{2} } {\partial z }|,x>0,\frac{z-x}{2}>0\\ 0,其他\\ \end{cases} \\化简后 f(x,y)= \begin{cases} e^{-z},x>0,\frac{z-x}{2}>0\\ 0,其他\\ \end{cases}
原式为f(x,y)={2e−(x+2y),x>0,y>00,其他替换后f(x,y)={2e−(x+2∗(2z−x))∗∣∂z∂2z−x∣,x>0,2z−x>00,其他化简后f(x,y)={e−z,x>0,2z−x>00,其他
第三步：
f
(
x
,
y
)
=
{
e
−
z
,
x
>
0
,
x
<
z
0
,
其
他
f
(
x
,
y
)
非
0
式
子
里
的
范
围
:
x
<
z
,
x
>
0
范
围
存
在
时
,
z
>
0
范
围
不
存
在
时
,
z
≤
0
范
围
存
在
是
x
的
范
围
是
(
0
,
z
)
f(x,y)= \begin{cases} e^{-z},x>0,x<z\\ 0,其他\\ \end{cases} \\ f(x,y)非0式子里的范围:x<z,x>0 \\ 范围存在时,z>0 \\范围不存在时,z\le 0 \\范围存在是x的范围是(0,z)
f(x,y)={e−z,x>0,x<z0,其他f(x,y)非0式子里的范围:x<z,x>0范围存在时,z>0范围不存在时,z≤0范围存在是x的范围是(0,z)
第四步：
f
Z
(
z
)
=
{
∫
0
z
e
−
z
d
x
,
z
>
0
0
,
z
≤
0
=
>
f
Z
(
z
)
=
{
z
e
−
z
,
z
>
0
0
,
z
≤
0
f_Z(z)= \begin{cases} \displaystyle \int^{z}_{0}e^{-z}{dx},z>0\\ 0,z \le 0\\ \end{cases} => f_Z(z)= \begin{cases} ze^{-z},z>0\\ 0,z \le 0\\ \end{cases}
fZ(z)=⎩⎨⎧∫0ze−zdx,z>00,z≤0=>fZ(z)={ze−z,z>00,z≤0
用上述方法尝试消去x，能得到答案：
