1.函数
是否是同一个函数：看定义域和对应法则f，是否相同。与字母(记号)无关。
2.复合函数
3.反函数：若g(x)是f(x)的反函数，则：
①
g
(
f
(
x
)
)
=
x
g(f(x))=x
g(f(x))=x
②
g
′
(
x
)
=
1
f
(
x
)
,
g
′
′
(
x
)
=
−
f
′
′
(
x
)
[
f
′
(
x
)
]
3
g'(x)=\dfrac{1}{f(x)},g''(x)=-\dfrac{f''(x)}{[f'^(x)]^3}
g′(x)=f(x)1,g′′(x)=−[f′(x)]3f′′(x)
①定义：【f是定义域到值域的一一映射】对于每一个y，都有唯一的x与之对应。则有反函数。
②如何求反函数：①反解 y=f(x) ->x=g(y) ②x与y调换，写成y=g(x)。则f与g互为反函数
4.基本初等函数
①幂：
x
a
x^a
xa
②指：
y
=
a
x
y=a^x
y=ax (a>0,a≠1)
③对：
y
=
l
o
g
a
x
y=log_ax
y=logax (a>0,a≠1)
④三角：sinx cosx tanx
⑤反三角函数：arcsinx arccosx arctanx
arcsin
x
+
arccos
x
=
π
2
\arcsin x+\arccos x=\dfrac{π}{2}
arcsinx+arccosx=2π
Ⅰ.arcsinx，定义域
[
−
1
,
1
]
[-1,1]
[−1,1]，值域 [
−
π
2
-\dfrac{π}{2}
−2π,
π
2
\dfrac{π}{2}
2π]
arcsin
1
2
=
π
6
\arcsin \dfrac{1}{2}=\dfrac{π}{6}
arcsin21=6π
θ
∈
(
0
,
π
2
)
，
a
r
c
s
i
n
(
s
i
n
θ
)
=
θ
θ∈(0,\dfrac{π}{2})，arcsin(sinθ)=θ
θ∈(0,2π)，arcsin(sinθ)=θ
θ
∈
(
π
2
,
π
)
，
a
r
c
s
i
n
(
s
i
n
θ
)
=
π
−
θ
θ∈(\dfrac{π}{2},π)，arcsin(sinθ)=π-θ
θ∈(2π,π)，arcsin(sinθ)=π−θ
Ⅱ.arccosx,定义域[-1,1]，值域 [- π 2 \frac{π}{2} 2π, π 2 \frac{π}{2} 2π]
5.初等函数：
由五类基本初等函数经过 有限次的 加、减、乘、除、复合 运算后，且能用一个解析式表示的函数，称为初等函数。
单调性、奇偶性、周期性、有界性 ＋对称
(1)
f
(
x
)
单增⇦⇨
f
′
(
x
)
≥
0
f(x)单增 ⇦⇨ f'(x)≥0
f(x)单增⇦⇨f′(x)≥0
(2)f每多一个负号，单调性发生变化：f(x)单增，则f(-x)单减，-f(-x)单增
例题1：武钟祥老师每日一题 24.Day62 单调性
答案：D
(1)奇函数：
①定义：
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
f(-x)=-f(x)
f(−x)=−f(x)
②性质：i.奇函数关于原点对称 ii.若奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0
(2)偶函数
①定义：
f
(
−
x
)
=
f
(
x
)
f(-x)=f(x)
f(−x)=f(x)
②性质：
Ⅰ.偶函数关于y轴对称
Ⅱ.
f
(
x
)
+
f
(
−
x
)
f(x)+f(-x)
f(x)+f(−x)为偶函数
F(x)为f(x)的原函数：
①F(x)为奇函数 ⇨ f(x)为偶函数
②F(x)为偶函数 ⇦⇨ f(x)为奇函数
(4)
f
(
∣
x
∣
)
与
∣
f
(
x
)
∣
f(|x|)与|f(x)|
f(∣x∣)与∣f(x)∣：
①
f
(
∣
x
∣
)
f(|x|)
f(∣x∣)是关于x的偶函数，左右对称
②
∣
f
(
x
)
∣
=
∣
y
∣
|f(x)|=|y|
∣f(x)∣=∣y∣是关于y的偶函数，上下对称
例题1：22年数三 周期性、奇偶性
分析：
①f(x+2π)=f(x) ∴f(x)为T=2π的周期函数 ∴f’‘’(x)也为T=2π的周期函数 ∴f’‘’(2π)=f’‘’(0)
②f(x)=g(x)+g(-x)为偶函数，则偶函数在0点的奇次阶导数为0
答案：0
例题2：07年3.
f
(
x
)
f(x)
f(x)为奇函数，则
F
(
x
)
F(x)
F(x)为偶函数
答案：C
例题3：19年12.
∣
y
∣
|y|
∣y∣是关于y的偶函数
分析：
答案： 32 3 \dfrac{32}{3} 332
1.定义： f ( x + T ) = f ( x ) f(x+T)=f(x) f(x+T)=f(x)，则f(x)为周期函数
2.性质：
①f(x)是以T为周期的可导周期函数 ⇨
f
′
(
x
)
f'(x)
f′(x)也是以T为周期的周期函数
②设f(x)连续且以T为周期，则
F
(
x
)
=
∫
0
x
f
(
t
)
d
t
F(x)=\int_0^xf(t)dt
F(x)=∫0xf(t)dt 是以T为周期的周期函数 ⇦⇨
∫
0
T
f
(
x
)
d
x
=
0
\int_0^Tf(x)dx=0
∫0Tf(x)dx=0
③周期函数的原函数是周期函数 ⇦⇨其在一个周期上的积分为零
④设f(x)是以T为周期的连续函数，则
∫
a
a
+
T
f
(
x
)
d
x
=
∫
0
T
f
(
x
)
d
x
=
∫
−
T
2
T
2
f
(
x
)
d
x
\int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^Tf(x)dx=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx
∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx=∫−2T2Tf(x)dx ，
∫
0
n
T
f
(
x
)
d
x
=
n
∫
0
T
f
(
x
)
d
x
\int_0^{nT}f(x)dx=n\int_0^Tf(x)dx
∫0nTf(x)dx=n∫0Tf(x)dx
例题1：660 T212
例题2：18年18(2)
1.有界性的定义：
有界，既有上界，又有下界
2.有界性的判定：
1.对称区间上，奇函数积分为0，偶函数积分为正半区间的2倍
2.①
f
(
x
)
f(x)
f(x)与
f
(
−
x
)
f(-x)
f(−x)关于
y
轴对称
y轴对称
y轴对称
②
f
(
x
)
f(x)
f(x)与
−
f
(
x
)
-f(x)
−f(x)关于
x
轴对称
x轴对称
x轴对称
3. f ( x + a ) f(x+a) f(x+a)与 f ( x − a ) f(x-a) f(x−a)关于 x = a x=a x=a对称
4. f ( ∣ x − a ∣ ) f(|x-a|) f(∣x−a∣)关于x=a对称
例题1：注意函数的对称性。2023年19.曲面积分就是对称性。
① 2 a b ≤ a 2 + b 2 2ab≤a^2+b^2 2ab≤a2+b2
② sin x < x < tan x ， x ∈ ( 0 , π 2 ) \sin x<x<\tan x，x∈(0,\dfrac{π}{2}) sinx<x<tanx，x∈(0,2π)
③ x 1 + x < ln ( 1 + x ) < x ， x ∈ ( 0 , + ∞ ) \dfrac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x，x∈(0,+∞) 1+xx<ln(1+x)<x，x∈(0,+∞) ⇨ 1 n + 1 < ln ( 1 + 1 n ) < 1 n \dfrac{1}{n+1}<\ln(1+\dfrac{1}{n})<\dfrac{1}{n} n+11<ln(1+n1)<n1
④ 1 + x ≤ e x 1+x≤e^x 1+x≤ex
a 2 = ∣ a ∣ \sqrt{a^2}=|a| a2 =∣a∣
1.考试内容概要
①极限的概念
②极限的性质
③极限存在准则
④无穷小
⑤无穷大
①数学语言定义（ε-N语言）
②几何意义
数轴，只有有限项落在区间外面，当n>N时所有点都落在开区间(a-ε,a+ε)内
i.变式
若极限为a
ii.收敛数列必有界。
单调有界 -> 收敛/有极限 -> 有界
④数列极限和部分列极限 的关系：数列极限存在且为a，则所有部分列极限也存在且为a
例题1：19年18. 数列极限：定积分的保号性、三角换元(有根式)、夹逼定理
答案：
例题2：08年4. 数列极限、举反例
分析：
f(x)单调 + {xn}单调 = {f(xn)}单调
f(x)单调 + f{xn}单调 = {xn}单调
对于CD，举个反例：f(x)=arctanx单调有界，{xn}=n（n=1,2,3,…），则 { f ( x n ) } = arctan n \{f(x_n)\}=\arctan n {f(xn)}=arctann，收敛于 π 2 \dfrac{π}{2} 2π，而 lim n → ∞ { x n } = lim n → ∞ n = ∞ \lim\limits_{n→∞}\{x_n\}=\lim\limits_{n→∞}n=∞ n→∞lim{xn}=n→∞limn=∞，{xn}发散
答案：B
函数是f(x)，数列 a n = f ( n ) a_n=f(n) an=f(n)，n只能取正整数。因此，函数极限是一般，数列极限的特殊。一般可以推出特殊，反之不可。
n→∞：n→+∞
x→∞：|x|→+∞
(1)自变量趋向于有限值的极限
左极限和右极限
(2)自变量趋向于无穷大的极限
定理：函数f(x)存在极限，当且仅当左右极限都存在且相等
①分段函数在分段点的极限
②
e
∞
e^∞
e∞ ：分正负无穷，
e
+
∞
=
∞
，
e
−
∞
=
0
e^{+∞}=∞，e^{-∞}=0
e+∞=∞，e−∞=0
③arctan∞：分正负无穷，
a
r
c
t
a
n
+
∞
=
π
2
,
a
r
c
t
a
n
−
∞
=
−
π
2
arctan+∞=\dfrac{π}{2},arctan-∞=-\dfrac{π}{2}
arctan+∞=2π,arctan−∞=−2π
收敛必有界
1.数列
由极限的有界性知，∃M>0，使得
∣
x
n
∣
≤
M
|x_n|≤M
∣xn∣≤M
证明：数轴上，n>N后落在a的邻域内，有界。之前的有限项，因为数量有限，所以界一定存在。综上，数列收敛，则一定有界。
2.函数
f
(
x
)
=
{
0
,
x
<
0
1
,
x
≥
0
f(x) = \begin{cases} 0, & x<0 \\ 1, & x\geq 0\end{cases}
f(x)={0,1,x<0x≥0
如果
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
A
\lim\limits_{x→x_0}f(x)=A
x→x0limf(x)=A，
(1)若
A
＞
0
A＞0
A＞0，是 ⇨
∃
δ
>
0
\existδ>0
∃δ>0，当
0
<
∣
x
−
x
0
∣
<
δ
0<|x-x_0|<δ
0<∣x−x0∣<δ 时，
f
(
x
)
>
0
f(x)>0
f(x)>0（同理
A
<
0
A<0
A<0 时，有
f
(
x
)
<
0
f(x)<0
f(x)<0）
(2)若 ∃ δ > 0 \existδ>0 ∃δ>0，当 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x-x_0|<δ 0<∣x−x0∣<δ 时， f ( x ) ≥ 0 f(x)≥0 f(x)≥0 ⇨ A ≥ 0 A≥0 A≥0
例题1：武忠祥老师每日一题 24.Day64 保号性、极值
分析：
答案：D
例题2：武忠祥老师每日一题 24.Day65 保号性、极值
分析：
答案：B
单调有界准则：单调有界，必有极限（数列收敛）
①单调增、有上界 ②单调减、有下界
递推关系： a n + 1 = f ( a n ) a_{n+1}=f(a_n) an+1=f(an)，用单调有界准则
喻老三：考研中证明极限存在，至今为止，每次都考 单调有界准则
收敛和有极限是等价的意思。不过一般只有 数列和级数 才说收敛。
例题1：18年19. 单调有界准则证明数列极限存在
答案：
A<x<B，若A、B的极限都是a，则x的极限也为a
n项和：用夹逼定理
若题目中出现了形如 A<x≤B 的不等式，留意下是否可以通过变形后夹逼。
例题1：16年4. 连续的定义、可导的定义、夹逼定理
分析：从题目已知，通过变形得到题目所求的夹逼。看到有不等式，可以留意一下是否 变形后能夹逼。
答案：D
1.无穷小量的概念
2.无穷小量的比较
3.无穷小量的性质
同阶无穷小 ⇦⇨ 阶数相同 ⇦⇨ 相除,趋于0时的极限=k（k为非零的任意常数）
等价无穷小 ⇦⇨ 阶数相同，系数也相同 ⇦⇨ 相除,趋于0时的极限=1
结论： ∫ 0 φ ( x ) f ( x ) d x \int_0^{φ(x)}f(x)dx ∫0φ(x)f(x)dx的阶数为 n(m+1)阶。其中φ(x)是n阶，f(x)是m阶
例题1：07年1. 等价无穷小 ⇦⇨ 阶数相同，系数也相同 ⇦⇨ 相除,趋于0时的极限=1
分析：
A.同阶，但不等价。
B：
lim
x
→
0
+
ln
1
+
x
1
−
x
x
=
lim
x
→
0
+
ln
(
1
+
x
+
x
1
−
x
)
x
=
lim
x
→
0
+
x
+
x
1
−
x
x
=
lim
x
→
0
+
1
+
x
1
−
x
=
1
\lim\limits_{x→0^+}\dfrac{\ln\dfrac{1+x}{1-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\lim\limits_{x→0^+}\dfrac{\ln(1+\dfrac{x+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}})}{\sqrt{x}}=\lim\limits_{x→0^+}\dfrac{\dfrac{x+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\lim\limits_{x→0^+}\dfrac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}=1
x→0+limx
ln1−x
1+x=x→0+limx
ln(1+1−x
x+x
)=x→0+limx
1−x
x+x
=x→0+lim1−x
1+x
=1
C：
1
+
x
−
1
∼
x
2
\sqrt{1+\sqrt{x}}-1\sim \dfrac{\sqrt{x}}{2}
1+x
−1∼2x
D.
∼
1
2
x
\sim \dfrac{1}{2}x
∼21x
答案：B
例题2：20年1.
分析：
A：
∫
0
x
(
e
t
2
−
1
)
d
t
∼
\int_0^x(e^{t^2}-1){\rm d}t\sim
∫0x(et2−1)dt∼
∫
0
x
t
2
d
t
\int_0^xt^2{\rm d}t
∫0xt2dt，n(m+1)=1×(2+1)=3
B： ∫ 0 x l n \int_0^x\rm ln ∫0xln ( 1 + t 3 ) d t ∼ ∫ 0 x t 3 d t = ∫ 0 x t 3 2 d t (1+\sqrt{t^3}){\rm d}t\sim\int_0^x\sqrt{t^3}{\rm d}t=\int_0^xt^{\frac{3}{2}}{\rm d}t (1+t3 )dt∼∫0xt3 dt=∫0xt23dt，n(m+1)=1×( 3 2 {\frac{3}{2}} 23+1)= 5 2 {\frac{5}{2}} 25
C： ∫ 0 s i n x sin t 2 d t ∼ ∫ 0 s i n x t 2 d t \int_0^{sinx}\sin t^2{\rm d}t\sim \int_0^{sinx}t^2dt ∫0sinxsint2dt∼∫0sinxt2dt，n(m+1)=1×(2+1)=3
D： ∫ 0 1 − c o s x s i n 3 t d t ∼ \int_0^{1-cosx}\rm \sqrt{sin^3t}dt\sim ∫01−cosxsin3t dt∼ ∫ 0 1 2 x 2 t 3 2 d t \int_0^{\frac{1}{2}x^2}t^{\frac{3}{2}}dt ∫021x2t23dt，n(m+1)=2×( 3 2 \frac{3}{2} 23+1)=5
答案：D
例题3：
答案：
解法1：加1减1、等价无穷小替换
解法2：拉格朗日中值定理
解法3：有理化
例题4：
答案：幂指函数化eln形式，用等价无穷小代换
x
x
>
>
x
!
>
>
a
x
>
>
x
a
>
>
ln
k
x
x^x>>x!>>a^x>>x^a>>\ln^kx
xx>>x!>>ax>>xa>>lnkx
幂指 >> 阶乘 >> 指数 >> 幂 >> 对数
1.无穷大量的概念：无穷大指的是 绝对值趋向于正无穷，无穷大要分正无穷大、负无穷大
2.无穷大量的比阶：幂指>阶乘>指>幂>对
3.无穷大量的性质
4.无穷大量和无界变量的关系
5.无穷大量和无穷小量的关系
一境之差，天差地别
①无界：有一点处f(x₀)=∞
②无穷大：当x>x₀，恒有f(x)=∞
无穷大量⊇无界变量
无穷大量要求n>N后每一项都很大，要连续的无界。无界变量只要求存在有一点处无界。
例题1：唐游讲义 P30 例题14
分析：
遇到
sin
1
x
\sin\dfrac{1}{x}
sinx1，考虑
x
=
1
n
π
x=\dfrac{1}{nπ}
x=nπ1、
x
=
1
2
n
π
x=\dfrac{1}{2nπ}
x=2nπ1、
x
=
1
2
n
π
+
π
2
x=\dfrac{1}{2nπ+\dfrac{π}{2}}
x=2nπ+2π1
答案：
5.无穷大量与无穷小量的关系：0也是无穷小。无穷小取倒数且非0，才是无穷大。1/0无意义。
例题2：06年16. (1)证明极限存在——单调有界准则：单调有界必有极限 (2)凑重要极限，求极限
分析：
(1)证明极限存在——单调有界准则：单调有界必有极限
(2)凑重要极限，求极限
答案： e − 1 6 e^{-\frac{1}{6}} e−61
求极限的方法：
①等价无穷小代换 、配合 加项减项
②洛必达法则 (L’Hôpital’s rule)
③拉格朗日中值定理：出现 同一函数 在两点函数值之差
④两个重要极限、几个基本极限
⑤有界量×无穷小=无穷小
⑥泰勒公式
⑦夹逼准则
⑧导数定义
⑨定积分定义、二重积分定义
(2)比的极限存在，分母趋向0，则分子趋向0
(2)比的极限存在且不为0，分子趋向0，则分母趋向0 【高数辅导讲义P14】
4）若
lim
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
\lim f(x)·g(x)
limf(x)⋅g(x) 存在，且
lim
f
(
x
)
=
∞
\lim f(x)=∞
limf(x)=∞，则
lim
g
(
x
)
=
0
\lim g(x)=0
limg(x)=0
例题1：知道极限确定参数
思路：把左边极限存在的一项单独拿出来，因为运算后的极限存在，所以那些不存在的项加减后极限也必然存在
答案：
例题2：
答案：
例题3：
答案：有理运算法则常用结论3：极限商存在且非0，分子趋向于0，则分母也趋向于0
(1)常用基本极限
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
lim
x
→
∞
(
1
+
1
x
)
x
=
lim
x
→
0
(
1
+
x
)
1
x
=
e
\lim\limits_{x→0}\dfrac{\sin x}{x}=1\\[2mm] \lim\limits_{x→∞}(1+\dfrac{1}{x})^x=\lim\limits_{x→0}(1+x)^\frac{1}{x}=e
x→0limxsinx=1x→∞lim(1+x1)x=x→0lim(1+x)x1=e
(2)“1∞”型极限常用结论
①凑e
②改写洛必达
③三部曲
例题1：
答案：三部曲
例题2：11年15. 重要极限
答案：
①乘除关系：随便换
②加减关系：要同阶，且减法不能为1，加法不能为-1
| 阶 | 等价无穷小：x→0 |
|---|---|
| 一阶 |
x
∼
s
i
n
x
∼
t
a
n
x
∼
a
r
c
s
i
n
x
∼
a
r
c
t
a
n
x
∼
ln
(
1
+
x
)
∼
e
x
−
1
x\sim sinx\sim tanx\sim arcsinx \sim arctanx \sim \ln(1+x) \sim e^x-1
x∼sinx∼tanx∼arcsinx∼arctanx∼ln(1+x)∼ex−1 a x − 1 ∼ x ln a a^x-1 \sim x\ln a ax−1∼xlna ( 1 + x ) a − 1 ∼ a x (1+x)^a-1\sim ax (1+x)a−1∼ax， n 1 + x − 1 ∼ x n ^n\sqrt{1+x}-1 \sim \dfrac{x}{n} n1+x −1∼nx |
| 二阶 |
1
−
c
o
s
x
∼
1
2
x
2
1-cosx \sim \dfrac{1}{2}x^2
1−cosx∼21x2，
1
−
cos
α
x
∼
α
2
x
2
1-\cos^αx \sim \dfrac{α}{2}x^2
1−cosαx∼2αx2 x − ln ( 1 + x ) ∼ 1 2 x 2 x-\ln(1+x)\sim \dfrac{1}{2}x^2 x−ln(1+x)∼21x2 x→∞时： 1 x − ln ( 1 + 1 x ) ∼ 1 2 ⋅ 1 x 2 \dfrac{1}{x}-\ln(1+\dfrac{1}{x})\sim \dfrac{1}{2}·\dfrac{1}{x^2} x1−ln(1+x1)∼21⋅x21 |
| 三阶 |
x
−
sin
x
∼
1
6
x
3
x-\sin x\sim \dfrac{1}{6}x^3
x−sinx∼61x3，
tan
x
−
x
∼
1
3
x
3
\tan x-x \sim \dfrac{1}{3}x^3
tanx−x∼31x3 arcsin x − x ∼ 1 6 x 3 \arcsin x-x\sim \dfrac{1}{6}x^3 arcsinx−x∼61x3， x − arctan x ∼ 1 3 x 3 x-\arctan x \sim \dfrac{1}{3}x^3 x−arctanx∼31x3 |
| 特殊 | x→0时，
(
1
+
x
)
α
−
1
∼
α
x
(1+x)^α-1\simαx
(1+x)α−1∼αx 推广：幂指函数 α(x)→0，α(x)β(x)→0时， [ 1 + α ( x ) ] β ( x ) − 1 ∼ α ( x ) ⋅ β ( x ) [1+α(x)]^{β(x)}-1\sim α(x)·β(x) [1+α(x)]β(x)−1∼α(x)⋅β(x) |
若f(x)和g(x)在x=0的某邻域内连续，则 lim x → 0 f ( x ) g ( x ) = 1 \lim\limits_{x→0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=1 x→0limg(x)f(x)=1，则 ∫ 0 x f ( t ) d t ∼ ∫ 0 x g ( t ) d t \int_0^xf(t)dt\sim \int_0^xg(t)dt ∫0xf(t)dt∼∫0xg(t)dt
推广：若 lim x → 0 φ ( x ) = 0 \lim\limits_{x→0}φ(x)=0 x→0limφ(x)=0，则有 ∫ 0 φ ( x ) f ( t ) d t ∼ ∫ 0 φ ( x ) g ( t ) d t \int_0^{φ(x)}f(t)dt\sim \int_0^{φ(x)}g(t)dt ∫0φ(x)f(t)dt∼∫0φ(x)g(t)dt
例题1:660 T7 等价无穷小
分析：等价无穷小： 1 − cos α x ∼ α ( 1 − cos x ) 1-\cos^αx\sim α(1-\cos x) 1−cosαx∼α(1−cosx)
答案： 1 n ! \dfrac{1}{n!} n!1
例题2：660 T133 经典错误
分析：
答案：D
例题3：20年9. 求极限：洛必达、泰勒公式
分析：
先通分:原式=
lim
x
→
0
[
l
n
(
1
+
x
)
−
(
e
x
−
1
)
(
e
x
−
1
)
[
l
n
(
1
+
x
)
]
]
=
lim
x
→
0
l
n
(
1
+
x
)
−
(
e
x
−
1
)
x
2
\lim\limits_{x→0}[\dfrac{ln(1+x)-(e^x-1)}{(e^x-1)[ln(1+x)]}]=\lim\limits_{x→0}\dfrac{ln(1+x)-(e^x-1)}{x^2}
x→0lim[(ex−1)[ln(1+x)]ln(1+x)−(ex−1)]=x→0limx2ln(1+x)−(ex−1)
方法1：洛必达，一直洛
方法1.5：洛必达法则+提出分子中的分式（提出
1
1
+
x
\frac{1}{1+x}
1+x1）
lim
x
→
0
l
n
(
1
+
x
)
−
(
e
x
−
1
)
x
2
=
lim
x
→
0
1
1
+
x
−
e
x
2
x
\lim\limits_{x→0}\dfrac{ln(1+x)-(e^x-1)}{x^2}=\lim\limits_{x→0}\dfrac{\frac{1}{1+x}-e^x}{2x}
x→0limx2ln(1+x)−(ex−1)=x→0lim2x1+x1−ex
（提出
1
1
+
x
\frac{1}{1+x}
1+x1）
=
1
2
lim
x
→
0
1
1
+
x
⋅
1
−
e
x
(
1
+
x
)
x
=
1
2
lim
x
→
0
1
−
e
x
−
x
e
x
x
=
−
1
2
lim
x
→
0
e
x
(
x
+
1
)
−
1
x
=
−
1
2
lim
x
→
0
[
e
x
(
x
+
1
)
+
e
x
]
=
−
1
2
lim
x
→
0
e
x
(
x
+
2
)
=
−
1
=\dfrac{1}{2}\lim\limits_{x→0}\dfrac{1}{1+x}·\dfrac{1-e^x(1+x)}{x}=\dfrac{1}{2}\lim\limits_{x→0}\dfrac{1-e^x-xe^x}{x}=-\dfrac{1}{2}\lim\limits_{x→0}\dfrac{e^x(x+1)-1}{x}=-\dfrac{1}{2}\lim\limits_{x→0}[e^x(x+1)+e^x]=-\dfrac{1}{2}\lim\limits_{x→0}e^x(x+2)=-1
=21x→0lim1+x1⋅x1−ex(1+x)=21x→0limx1−ex−xex=−21x→0limxex(x+1)−1=−21x→0lim[ex(x+1)+ex]=−21x→0limex(x+2)=−1
方法2：泰勒公式
l
n
(
1
+
x
)
=
x
−
x
2
2
+
o
(
x
2
)
ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)
ln(1+x)=x−2x2+o(x2)
e
x
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
o
(
x
2
)
e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+o(x^2)
ex=1+x+2!x2+o(x2)
∴
e
x
−
1
=
x
+
x
2
2
!
+
o
(
x
2
)
∴e^x-1=x+\dfrac{x^2}{2!}+o(x^2)
∴ex−1=x+2!x2+o(x2)
lim
x
→
0
l
n
(
1
+
x
)
−
(
e
x
−
1
)
x
2
=
lim
x
→
0
[
x
−
x
2
2
+
o
(
x
2
)
]
−
[
x
+
x
2
2
!
+
o
(
x
2
)
]
x
2
=
lim
x
→
0
−
x
2
+
o
(
x
2
)
x
2
=
−
1
\lim\limits_{x→0}\dfrac{ln(1+x)-(e^x-1)}{x^2}=\lim\limits_{x→0}\dfrac{[x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)]-[x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2)]}{x^2}=\lim\limits_{x→0}\dfrac{-x^2+o(x^2)}{x^2}=-1
x→0limx2ln(1+x)−(ex−1)=x→0limx2[x−2x2+o(x2)]−[x+2!x2+o(x2)]=x→0limx2−x2+o(x2)=−1
答案：-1
① ∞ 0 ∞^0 ∞0：化为 e ln e^{\ln} eln
② ∫ 1 1 + x 2 d x = ln ( x + 1 + x 2 ) + C \int\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\ln(x+\sqrt{1+x^2})+C ∫1+x2 1dx=ln(x+1+x2 )+C
③f(x)n阶可导：最多推出n-1阶导数连续、极限存在，可用n-1次洛必达。
f
(
n
)
(
x
)
f^{(n)}(x)
f(n)(x)要用导数定义
f(x)n阶导数连续：n阶导数连续、极限存在，可用n次洛必达直接求出
f
(
n
)
(
x
)
f^{(n)}(x)
f(n)(x)
例题1：抽象函数求极限，使用洛必达法则的原则
泰勒展开到几次：
①加减关系：同次幂系数相加减不为0
②乘除关系：上次同次幂
例题1：
答案：①泰勒 ②洛必达＋加项减项 等价无穷小
例题2：一题多解
答案：①泰勒 ②各个击破(有界量×无穷小=0) ③(选择题)代入的方法
lim n → ∞ \lim\limits_{n→∞} n→∞lim n a 1 n + a 2 n + . . . + a m n = m a x { a 1 , a 2 , . . . , a m } ^n\sqrt{a_1^n+a_2^n+...+a_m^n}=max\{a_1,a_2,...,a_m\} na1n+a2n+...+amn =max{a1,a2,...,am}
例题1：
答案：右边已经知道极限是3，左边大胆放缩，朝着目标是3来放缩。（有风险，万一右边求错了）
例题2：
结论：若干个数的n次方之和开根号的极限，为最大的那个数
例题2：继续用结论
例题3：几何的方法
提可爱因子 1 n \dfrac{1}{n} n1
判断是夹逼原理还是定积分定义：看变化部分的最大值与主体部分相比较：
①是次量级：夹逼
②是同量级：定积分定义 【高数辅导讲义 P30】
例题1：武基础班例题 定积分定义求极限
答案：
递推关系处理数列极限：
x
n
+
1
=
f
(
x
n
)
x_{n+1}=f(x_n)
xn+1=f(xn)，求极限
lim
n
→
∞
x
n
\lim\limits_{n→∞}x_n
n→∞limxn：
①单调有界准则证明极限存在 ②等式两边同时取极限，求出极限
(0)基本不等式
2
a
b
≤
a
2
+
b
2
2ab≤a^2+b^2
2ab≤a2+b2
3
a
b
c
≤
a
+
b
+
c
3
^3\sqrt{abc}≤\dfrac{a+b+c}{3}
3abc
≤3a+b+c
(1)证明单调性：①后项减前项 ②后项比前项（难点）
找界
求出极限
例题1：660 T19 利用单调有界准则求极限
答案： 1 + 5 2 \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} 21+5
7种未定式： 0 0 \dfrac{0}{0} 00、 ∞ ∞ \dfrac{∞}{∞} ∞∞、 ∞ − ∞ ∞-∞ ∞−∞、 0 ⋅ ∞ 0·∞ 0⋅∞、 1 ∞ 1^∞ 1∞、 ∞ 0 ∞^0 ∞0、 0 0 0^0 00
(1)
0
0
\dfrac{0}{0}
00
三种方法：①洛必达 ②等价无穷小 ③泰勒公式
三种化简：①极限非零因子可以先求出来 ②有理化 ③变量代换
(2)
0
⋅
∞
0·∞
0⋅∞
lim
x
→
0
+
x
ln
x
=
0
\lim\limits_{x→0^+}x\ln x=0
x→0+limxlnx=0
lim x → 0 + x a ln k x = 0 ( a > 0 , k > 0 ) \lim\limits_{x→0^+}x^a\ln^k x=0 \quad (a>0,k>0) x→0+limxalnkx=0(a>0,k>0)
(3)
∞
−
∞
∞-∞
∞−∞
①分式差：通分化为
0
0
\frac{0}{0}
00
②根式差：根式有理化
③提无穷因子 + 等价代换/换元(变量代换)/泰勒公式
(4)
1
∞
1^∞
1∞
三部曲：
①原式
=
lim
[
1
+
α
(
x
)
]
β
(
x
)
=\lim[1+α(x)]^{β(x)}
=lim[1+α(x)]β(x)
②
lim
α
(
x
)
β
(
x
)
=
A
\limα(x)β(x)=A
limα(x)β(x)=A
③原式
=
e
A
=e^A
=eA
1.第一类间断点：左右极限都存在
①可去间断点：左右极限都存在，且相等
②跳跃间断点：左右极限都存在，但不等
2.第二类间断点：左右极限至少有一个不存在，为∞
①无穷间断点：存在无界点 / 瑕点，y(a)=∞，则a为无穷间断点，例如
tan
π
2
\tan \dfrac{π}{2}
tan2π
②振荡间断点：振荡不存在，但是有界，并不是无穷。典型例子sin∞：
lim
x
→
0
sin
1
x
\lim\limits_{x→0}\sin\dfrac{1}{x}
x→0limsinx1
例题1：660 T24
答案：(1，e)
例题2：
答案：①找间断点 ②求间断点处的极限，判断是第一类还是第二类间断点
例题3：
答案：
例题4：
答案：
定义区间：包含在定义域内部的区间。定义域唯一，定义区间不唯一。
例题1：
答案：
在闭区间上连续的函数在该区间上：①有界 ②且一定能取得它的最大值与最小值
设函数 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 f ( a ) = A , f ( b ) = B f(a)=A,f(b)=B f(a)=A,f(b)=B，则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内至少有一点 ξ ξ ξ，使得 f ( ξ ) = C ( a < ξ < b ) f(ξ)=C \ \ (a<ξ<b) f(ξ)=C (a<ξ<b)
若函数 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，且 f ( a ) ⋅ f ( b ) < 0 f(a)·f(b)<0 f(a)⋅f(b)<0，则至少存在一点 ξ ∈ ( a , b ) ξ∈(a,b) ξ∈(a,b)，使得 f ( ξ ) = 0 f(ξ)=0 f(ξ)=0
零点：若 x 0 x_0 x0使得 f ( x 0 ) = 0 f(x_0)=0 f(x0)=0，那么称 x 0 x_0 x0为函数 f ( x ) f(x) f(x)的零点
例题1：
答案：最大最小值定理、介值定理
连续：左极限 = 函数值 =右极限
可导：左导数 = 右导数
例题1：07年4.
分析：AB是连续，CD是可导
A： lim x → 0 f ( x ) x 存在 ⇨ lim x → 0 f ( x ) = 0 → 连续 f ( 0 ) = 0 \lim\limits_{x→0}\dfrac{f(x)}{x}存在\ ⇨\ \lim\limits_{x→0}f(x)=0 \xrightarrow{连续}\ f(0)=0 x→0limxf(x)存在 ⇨ x→0limf(x)=0连续 f(0)=0
或者 lim x → 0 f ( x ) = lim x → 0 f ( x ) x ⋅ x = lim x → 0 f ( x ) x ⋅ lim x → 0 x = 0 \lim\limits_{x→0}f(x)=\lim\limits_{x→0}\dfrac{f(x)}{x}·x=\lim\limits_{x→0}\dfrac{f(x)}{x}·\lim\limits_{x→0}x=0 x→0limf(x)=x→0limxf(x)⋅x=x→0limxf(x)⋅x→0limx=0（有界×无穷小 = 无穷小）
B：两种方法同理可证 2f(0)=0
C：导数定义 lim x → 0 f ( x ) x = lim x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = f ′ ( 0 ) 存在 \lim\limits_{x→0}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x→0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)存在 x→0limxf(x)=x→0limx−0f(x)−f(0)=f′(0)存在
D：举反例，|x|在x=0处不可导
答案：D
若
f
(
x
n
)
f(x_n)
f(xn)连续，则
lim
n
→
∞
f
(
x
n
)
=
f
(
lim
n
→
∞
x
n
)
\lim\limits_{n→∞}f(x_n)=f(\lim\limits_{n→∞}x_n)
n→∞limf(xn)=f(n→∞limxn)
举例：
①
f
(
x
)
=
e
x
f(x)=e^x
f(x)=ex，
lim
n
→
∞
e
x
n
=
e
lim
n
→
∞
x
n
\lim\limits_{n→∞}e^{x_n}=e^{\lim\limits_{n→∞}x_n}
n→∞limexn=en→∞limxn
②
f
(
x
)
=
ln
x
f(x)=\ln x
f(x)=lnx，
lim
n
→
∞
ln
x
n
=
ln
lim
n
→
∞
x
n
\lim\limits_{n→∞}\ln{x_n}=\ln{\lim\limits_{n→∞}x_n}
n→∞limlnxn=lnn→∞limxn 【880 第一章综合填空4】
①极限非零因子可以先求出来 【辅导讲义 0/0的极限，三大化简方法】
②若剩余部分均为常数，则该处极限可以直接求 【880 第一章综合填空4】
