鸽了好久了，大三生活真的好累啊！
\quad\quad
前两天夏令营面试的时候被问到了隐函数定理，特此专门写一篇博文来重新复习讲解一下隐函数定理的内容。
假定 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)是平面曲线 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0上一点，且函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)关于 x , y x,y x,y连续可微。如果在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处 F y ( x , y ) ≠ 0 F_y(x,y)\neq 0 Fy(x,y)=0，那么在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)附近该曲线有显式表达式 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)，且该显式表达式可微，有 y y y关于 x x x的一阶导数 f ′ ( x ) = − F x F y f'(x)=-\frac{F_x}{F_y} f′(x)=−FyFx。
我们来对上述命题进行一下证明， F y ≠ 0 F_y\neq0 Fy=0告诉了我们什么信息呢?
表明
x
0
x_0
x0保持不动，
y
0
y_0
y0增加一点点以及减少一点点的时候，F值会随之增加一点点或减小一点点(如果
F
y
F_y
Fy在
(
x
0
,
y
0
)
(x_0,y_0)
(x0,y0)处为正)。我们通过图片展示出来：
其中
A
,
B
,
C
A,B,C
A,B,C点有相同的横坐标
x
0
x_0
x0，B点即为上文中提到的点
(
x
0
,
y
0
)
(x_0,y_0)
(x0,y0)，A点纵坐标增加了一丢丢，为
(
x
0
,
y
0
+
d
y
)
(x_0,y_0+dy)
(x0,y0+dy)；C点纵坐标减小了一丢丢，为
(
x
0
,
y
0
−
d
y
)
(x_0,y_0-dy)
(x0,y0−dy)。
d
y
dy
dy充分小，使得
F
∣
A
>
0
F|_A>0
F∣A>0，
F
∣
B
=
0
F|_B=0
F∣B=0，
F
∣
C
<
0
F|_C<0
F∣C<0。
这时候再以
A
A
A和
C
C
C为中心，进行延伸：
因为于
A
A
A处，
C
C
C处连续，存在充分小邻域使得
F
F
F在
A
1
−
A
2
A1-A2
A1−A2 线段上以及端点
A
1
,
A
2
A1,A2
A1,A2取值正负相同，
F
F
F在
C
1
−
C
2
C1-C2
C1−C2 线段上以及端点
C
1
,
C
2
C1,C2
C1,C2取值正负相同。这样，对于任意该小邻域内的
x
1
x_1
x1，做
y
y
y轴平行线，交线段
A
1
−
A
2
A1-A2
A1−A2于一点
X
1
X_1
X1，交线段
C
1
−
C
2
C1-C2
C1−C2于一点
X
2
X_2
X2。
则有
F
∣
X
1
>
0
,
F
∣
X
2
<
0
F|_{X_1}>0,F|_{X_2}<0
F∣X1>0,F∣X2<0。由于在线段
X
1
−
X
2
X_1-X_2
X1−X2上
F
F
F取值连续，由介值定理，存在线段
X
1
−
X
2
X_1-X_2
X1−X2上一点
(
x
1
,
y
1
)
(x_1,y_1)
(x1,y1)使得
F
(
x
1
,
y
1
)
=
0
F(x_1,y_1)=0
F(x1,y1)=0。
下面证明不仅仅是存在 y 1 y_1 y1，而且 y 1 y_1 y1还是唯一的。因为 F F F在B点附近是连续可微的，且 F y ∣ B > 0 F_y|_B>0 Fy∣B>0。因而可以找一个更小的邻域，满足于更小的邻域上，有 F y > 0 F_y>0 Fy>0，这样，对于每一个 x x x，在对应的线段 X 1 ′ − X 2 ′ X'_1-X'_2 X1′−X2′上函数 F F F从下到上函数值单调递增。这样介值y的值就是唯一存在的了。
到目前为止我们证明了局部函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的存在性，下面来验证函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的连续性与可微性。
首先来证明连续性，我们回顾下连续性的定义，即是说：
∀
ϵ
,
∃
δ
,
s
.
t
.
∣
y
−
y
0
∣
<
ϵ
i
f
∣
x
−
x
0
∣
<
δ
.
\forall \epsilon ,\exist \delta,s.t. |y-y_0|<\epsilon \quad if\quad |x-x_0|<\delta.
∀ϵ,∃δ,s.t.∣y−y0∣<ϵif∣x−x0∣<δ.
那么我们在首次选取邻域的时候只需要选择
∣
A
C
∣
<
ϵ
|AC|<\epsilon
∣AC∣<ϵ即可保证对应的临近的y值都满足:
∣
y
−
y
0
∣
<
ϵ
|y-y_0|<\epsilon
∣y−y0∣<ϵ。
下面来证明可微性。当然这里可微性的证明要以
F
F
F的可微性作为支持。
我们知道，F连续可微，因而在B点充分小邻域内
F
x
,
F
y
F_x,F_y
Fx,Fy连续。那我考虑
x
0
x_0
x0邻域中的x，对应有相应的
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)。
我们考虑点 ( x , y 0 ) (x,y_0) (x,y0)，将函数值 F ( x , y 0 ) F(x,y_0) F(x,y0)在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)与 ( x , y 0 ) (x,y_0) (x,y0)之间运用中值定理有:
F ( x , y 0 ) = F ( x 0 , y 0 ) + F x ( x θ , y 0 ) ( x − x 0 ) , x 0 < x θ < x . F(x,y_0)=F(x_0,y_0)+F_x(x_\theta,y_0)(x-x_0),x_0<x_\theta<x. F(x,y0)=F(x0,y0)+Fx(xθ,y0)(x−x0),x0<xθ<x.
将函数值 F ( x , y 0 ) F(x,y_0) F(x,y0)在 ( x , f ( x ) ) (x,f(x)) (x,f(x))与 ( x , y 0 ) (x,y_0) (x,y0)之间运用中值定理有:
F
(
x
,
y
0
)
=
F
(
x
,
f
(
x
)
)
−
F
y
(
x
,
y
θ
)
(
f
(
x
)
−
y
0
)
,
y
0
<
y
θ
<
f
(
x
)
.
F(x,y_0)=F(x,f(x))-F_y(x,y_\theta)(f(x)-y_0),y_0<y_\theta<f(x).
F(x,y0)=F(x,f(x))−Fy(x,yθ)(f(x)−y0),y0<yθ<f(x).
由于
F
(
x
0
,
y
0
)
=
F
(
x
,
f
(
x
)
)
=
0
F(x_0,y_0)=F(x,f(x))=0
F(x0,y0)=F(x,f(x))=0，因而结合以上两式子，有:
f ( x ) = y 0 − F x ( x θ , y 0 ) F y ( x , y θ ) ( x − x 0 ) f(x)=y_0-\frac{F_x(x_\theta,y_0)}{F_y(x,y_\theta)}(x-x_0) f(x)=y0−Fy(x,yθ)Fx(xθ,y0)(x−x0)
而
F
x
(
x
θ
,
y
0
)
F
y
(
x
,
y
θ
)
=
F
x
F
y
∣
(
x
0
,
y
0
)
+
o
(
1
)
\frac{F_x(x_\theta,y_0)}{F_y(x,y_\theta)}=\frac{F_x}{F_y}|_{(x_0,y_0)}+o(1)
Fy(x,yθ)Fx(xθ,y0)=FyFx∣(x0,y0)+o(1)
因而有:
f
(
x
)
=
y
0
−
F
x
F
y
∣
(
x
0
,
y
0
)
(
x
−
x
0
)
+
o
(
∣
x
−
x
0
∣
)
f(x)=y_0-\frac{F_x}{F_y}|_{(x_0,y_0)}(x-x_0)+o(|x-x_0|)
f(x)=y0−FyFx∣(x0,y0)(x−x0)+o(∣x−x0∣)。
根据可微定义，可知
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)于
x
0
x_0
x0处可微，且
y
x
=
−
F
x
F
y
y_x=-\frac{F_x}{F_y}
yx=−FyFx.
下面我们来看一个例子：
这是一个半径为1，圆心位于原点的圆。可以看到在
(
−
1
,
1
)
(-1,1)
(−1,1)中一个
x
x
x值对应会有两个y值，因而这不是一个函数，但是却可以用隐函数
F
(
x
,
y
)
=
x
2
+
y
2
−
1
=
0
F(x,y)=x^2+y^2-1=0
F(x,y)=x2+y2−1=0的形式表示出这个平面曲线。但是在关注局部的时候，我们发现大多数情况，是可以用函数表示的。比如任取上半圆中一点:
在其附近确实能对任意x值找到唯一的y值与其对应。
同样的，在下半圆也是如此。
对应关系式为：
y
=
1
−
x
2
,
上
半
圆
；
y
=
−
1
−
x
2
,
下
半
圆
.
y=\sqrt{1-x^2},上半圆；y=-\sqrt{1-x^2},下半圆.
y=1−x2
,上半圆；y=−1−x2
,下半圆.
特别的可以观察到，在 ( − 1 , 0 ) (-1,0) (−1,0)和 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0)两个点处，有 F y = 0 F_y=0 Fy=0；在图像上有对于其附近的任意定义域中 x x x，都无法找到唯一的 y y y与之对应。(这里是找到2个，这个个数的不同是否可以对这种奇点进行分类？)。
F
(
x
,
y
)
F(x,y)
F(x,y)实际上是一个三维的曲面，当
F
(
x
,
y
)
F(x,y)
F(x,y)值取定的时候，是否是一个曲线呢？还是一个点呢？
当
(
F
x
)
2
+
(
F
y
)
2
≠
0
(F_x)^2+(F_y)2\neq0
(Fx)2+(Fy)2=0时，我们知道必然有
F
x
≠
0
F_x\neq0
Fx=0或者
F
y
≠
0
F_y\neq0
Fy=0。那么在该点存在y和x的限制关系，即是说可表述为二维曲线形式
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)或者
x
=
g
(
y
)
x=g(y)
x=g(y)。
而当
(
F
x
)
2
+
(
F
y
)
2
=
0
(F_x)^2+(F_y)2=0
(Fx)2+(Fy)2=0时，我们知道这是一个驻点或者是极值点，这时候的等高线是什么样子呢？
1.可以是一个平面。
2.可以是一个点。
3.可以是一个曲线。
文案：锦帆远航
图片：锦帆远航
