第一章控制系统的状态空间描述方法

状态空间法：
在经典控制理论中常用输入输出模型，用传递函数描述系统输入与输出之间的的关系，即系统外部的因果关系。是一种不完全描述。
所谓状态空间法是指：即描述了系统输入变量和内部变量之间的互相关系，也描述了输入变量、内部变量和输出变量间的因果关系。是一种完全描述。

状态空间的基本概念：

1.状态(state)
每一个时刻(t>t0)，系统中的那些物理量(非物理量)，以及他们的导数，都反映了系统的状态。
例如：RLC电路中：输入电压为u(t),在t>t0时,电容两端电压，电阻两端电压，电感两端电压。都反应系统的状态。

2.状态变量(state variable)
完全描述系统运动状态的最小个数的一组变量
tips:

1. 完全描述是指一旦给定 初始状态 和 输入量 ，则系统在时域行为就完全确定
2. 最小个数意味着这组变量之间相互独立
3. 变量的个数通常等于系统储能元件的个数

3.状态向量(state vector)
将n个状态变量看成是一个向量即
x ( t ) = ( x 1 ( t ) x 2 ( t ) … x n ( t ) ) \bm x(t)=\left(\begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \ldots\\ x_n(t) \\ \end{array}\right) x(t)=⎝⎜⎜⎛​x1​(t)x2​(t)…xn​(t)​⎠⎟⎟⎞​

4.状态空间
以状态变量
x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , … , x n ( t ) x_1(t),x_2(t),\ldots,x_n(t) x1​(t),x2​(t),…,xn​(t)
为坐标轴构成n维空间，称之为状态空间。在某一时刻，状态向量即状态空间内一点。

5.状态轨迹
随时间推移，状态向量会在状态空间中绘出一条轨迹，称之为状态轨迹。

6.状态方程
前面提到，状态空间法是指
描述了系统输入变量和内部变量之间的互相关系
x ′ = A x + B u \bm x\prime=\bm A \bm x+\bm B\bm u x′=Ax+Bu
有点类似于递推的关系，由上式就可以推出状态轨迹
  A为系统矩阵
  B为输入矩阵
  u为输入向量

7.输出方程
后半句：也描述了输入变量、内部变量和输出变量间的因果关系是指。
y = C x + D u \bm y=\bm C\bm x+\bm D\bm u y=Cx+Du
  C为输出矩阵
  D为前馈矩阵

状态空间描述法

{ x ′ = A x + B u y = C x + D u \left \{\begin{array}{c} \bm x\prime=\bm A \bm x+\bm B\bm u\\ \bm y=\bm C\bm x+\bm D\bm u \end{array}\right. {x′=Ax+Buy=Cx+Du​

tips:

1. 对于ABCD来讲，若是线性连续定常系统，ABCD中的元素为常数；对于线性时变系统来讲，ABCD中的元素一部分为时间的函数
2. 状态空间表达式非唯一。
3. 输出变量于状态变量的区别，输出一定可测，状态变量不一定可测。

状态空间描述的模拟结构图：