一般来说,变换后的球体将是某种椭球体。为其获得精确的边界框并不难;如果你不想完成所有的数学运算:
- 注意
M
是你的变换矩阵(缩放、旋转、平移等)
- 阅读定义
S
below
- compute
R
正如最后所描述的
- 计算
x
, y
, and z
界限基于R
正如最后所描述的。
一般二次曲线(包括球体及其变换)可以表示为对称 4x4 矩阵:齐次点p
在圆锥曲线内部S
when p^t S p < 0
。通过矩阵 M 变换空间会按如下方式变换 S 矩阵(下面的约定是点是列向量):
A unit-radius sphere about the origin is represented by:
S = [ 1 0 0 0 ]
[ 0 1 0 0 ]
[ 0 0 1 0 ]
[ 0 0 0 -1 ]
point p is on the conic surface when:
0 = p^t S p
= p^t M^t M^t^-1 S M^-1 M p
= (M p)^t (M^-1^t S M^-1) (M p)
transformed point (M p) should preserve incidence
-> conic S transformed by matrix M is: (M^-1^t S M^-1)
二次曲线的对偶适用于平面而不是点,由 S 的倒数表示;对于平面 q(表示为行向量):
plane q is tangent to the conic when:
0 = q S^-1 q^t
= q M^-1 M S^-1 M^t M^t^-1 q^t
= (q M^-1) (M S^-1 M^t) (q M^-1)^t
transformed plane (q M^-1) should preserve incidence
-> dual conic transformed by matrix M is: (M S^-1 M^t)
因此,您正在寻找与变换的二次曲线相切的轴对齐平面:
let (M S^-1 M^t) = R = [ r11 r12 r13 r14 ] (note that R is symmetric: R=R^t)
[ r12 r22 r23 r24 ]
[ r13 r23 r33 r34 ]
[ r14 r24 r34 r44 ]
axis-aligned planes are:
xy planes: [ 0 0 1 -z ]
xz planes: [ 0 1 0 -y ]
yz planes: [ 1 0 0 -x ]
要查找与 R 相切的 xy 对齐平面:
[0 0 1 -z] R [ 0 ] = r33 - 2 r34 z + r44 z^2 = 0
[ 0 ]
[ 1 ]
[-z ]
so, z = ( 2 r34 +/- sqrt(4 r34^2 - 4 r44 r33) ) / ( 2 r44 )
= (r34 +/- sqrt(r34^2 - r44 r33) ) / r44
类似地,对于 xz 对齐的平面:
y = (r24 +/- sqrt(r24^2 - r44 r22) ) / r44
和 yz 对齐的平面:
x = (r14 +/- sqrt(r14^2 - r44 r11) ) / r44
这为您提供了变换后的球体的精确边界框。