确定性（必然）：一定发生（不发生）
随机（偶然）：可能发生 可能不发生
统计规律
试验：观察 测量 实验
随机试验：
事件：每种结果
随机事件：A, B, C
基本事件：相对于实验目的来说 不能再分（不必再分）
复合事件：由基本事件复合而成
Ω
\Omega
Ω：全集
Φ
\Phi
Φ：空集
必然事件：一定发生 Ω \Omega Ω
不可能事件：一定不发生 Φ \Phi Φ
样本空间：所有基本事件的集合 Ω \Omega Ω
样本点：样本空间的元素 ω \omega ω
事件的集合表示
A
⊂
B
A\subset B
A⊂B：A发生必然导致B发生
Φ
⊂
A
⊂
Ω
\Phi \subset A \subset \Omega
Φ⊂A⊂Ω
相等：若
A
⊂
B
A\subset B
A⊂B且
B
⊂
A
B\subset A
B⊂A，则
A
=
B
A=B
A=B
A
∪
B
A\cup B
A∪B 或
A
+
B
A+B
A+B：A与B中至少有一个发生
A
⊂
A
+
B
A\subset A+B
A⊂A+B
A
+
A
=
A
A+A=A
A+A=A
A
+
Φ
=
A
A+\Phi=A
A+Φ=A
A
+
Ω
=
Ω
A+\Omega=\Omega
A+Ω=Ω
A
∩
B
A\cap B
A∩B 或
A
B
AB
AB：AB同时发生
A
B
⊂
A
AB\subset A
AB⊂A
A
A
=
A
AA=A
AA=A
A
Φ
=
Φ
A\Phi=\Phi
AΦ=Φ
A
Ω
=
A
A\Omega=A
AΩ=A
无限可列个：按某种规律排成一个序列
例：全体自然数，全体整数，全体有理数
实数集（×），直线上的点集（×）
A − B A-B A−B：A发生而B不发生
A、B不同时发生
A
B
=
Φ
AB=\Phi
AB=Φ
n个事件：
A
1
,
A
2
,
.
.
.
,
A
n
A_1, A_2, ..., A_n
A1,A2,...,An
A
i
A
j
=
Φ
A_iA_j=\Phi
AiAj=Φ
A、B不互相容且
A
∪
B
=
Ω
A\cup B=\Omega
A∪B=Ω
A
B
=
Φ
AB=\Phi
AB=Φ且
A
+
B
=
Ω
A+B=\Omega
A+B=Ω
A
=
B
‾
A=\overline{B}
A=B
B
=
A
‾
B=\overline{A}
B=A
联系与区别：
A 1 , A 2 , . . . , A n A_1, A_2, ..., A_n A1,A2,...,An两两互不相容，且 ∪ i = 1 n A i = Ω \cup_{i=1}^nA_i=\Omega ∪i=1nAi=Ω
概率：可能性的大小， P ( A ) P(A) P(A)
性质：
条件：
P ( A ) = A 的 有 利 样 本 点 Ω 中 样 本 点 总 数 = A 中 包 含 的 基 本 事 件 数 基 本 事 件 总 数 P(A)=\frac{A的有利样本点}{\Omega 中样本点总数}=\frac{A中包含的基本事件数}{基本事件总数} P(A)=Ω中样本点总数A的有利样本点=基本事件总数A中包含的基本事件数
加法原理：几类方案 加法
乘法原理：分几步 乘法
排列：
组合：
性质：
缺点：
线段、平面、立体
P
(
A
)
=
μ
(
G
)
μ
(
Ω
)
\displaystyle P(A)=\frac{\mu(G)}{\mu(\Omega)}
P(A)=μ(Ω)μ(G)
μ
\mu
μ：几何区域的度量
例题：
甲乙两人约定6点到7点见面，先到者等15 min。甲乙两人在一小时内任意时刻都有可能到达。问两人能见面的概率。
设：
A
A
A：两人能见面
x
x
x：甲到达的时间
y
y
y：乙到达的时间
{ y − x ≥ 0 ∣ x − y ∣ ≤ 15 \begin{cases} y-x\geq0 \\ |x-y|\leq15 \end{cases} {y−x≥0∣x−y∣≤15
例题：
蒲丰投针问题：向相距为
d
d
d的等距平行线之间随机投长度为
l
l
l的针（
l
<
d
l<d
l<d），针的中点落在两平行线间，针与直线相交的概率。
x
x
x：针的中点离最近的直线的距离（
0
≤
x
≤
d
2
0\leq x\leq \frac{d}{2}
0≤x≤2d）
ϕ
\phi
ϕ：针与线之间的夹角（
0
≤
ϕ
≤
π
0\leq \phi \leq \pi
0≤ϕ≤π）
x s i n ϕ ≤ l 2 \displaystyle\frac{x}{sin\phi}\leq\frac{l}2{} sinϕx≤2l
Ω
=
{
(
ϕ
,
x
)
∣
0
≤
ϕ
≤
π
,
0
≤
x
≤
d
2
}
\Omega=\{ (\phi, x)|0\leq \phi \leq \pi, 0\leq x\leq \frac{d}{2}\}
Ω={(ϕ,x)∣0≤ϕ≤π,0≤x≤2d}
a
=
{
(
ϕ
,
x
)
!
0
≤
ϕ
≤
π
,
0
≤
x
≤
l
2
s
i
n
ϕ
}
a=\{ (\phi, x)! 0\leq \phi \leq \pi, 0\leq x\leq \frac{l}{2}sin \phi\}
a={(ϕ,x)!0≤ϕ≤π,0≤x≤2lsinϕ}
∫ 0 π l 2 s i n ϕ d ϕ π × 2 d = 2 l π d \frac{\int_0^\pi \frac{l}{2}sin\phi d\phi}{\pi\times2d}=\frac{2l}{\pi d} π×2d∫0π2lsinϕdϕ=πd2l
性质：
几何概率模型具有与古典概率模型相同的性质
几何概率模型具有完全可加性
P ( ⋃ i = 1 ∞ A i ) = ∑ i = 1 ∞ P ( A i ) P(\displaystyle\bigcup_{i=1}^\infin A_i)=\displaystyle \sum_{i=1}^{\infin}P(A_i) P(i=1⋃∞Ai)=i=1∑∞P(Ai)
频率： n n n次试验，事件 A A A发生了 m m m次， m n \frac{m}{n} nm称为频率，记作 ω n ( A ) \omega_n(A) ωn(A)
性质：
频率的稳定值称为统计概率
概率的四种定义：描述性定义、古典概型定义、几何概型定义、统计定义
性质：
公理1（非负性）
0
≤
P
(
A
)
≤
1
0\leq P(A)\leq1
0≤P(A)≤1
公理2（规范性）
P
(
Ω
)
=
1
P(\Omega)=1
P(Ω)=1
公理3（完全可加性） 若
A
1
,
A
2
,
⋯
A_1,A_2,\cdots
A1,A2,⋯两两互不相容，则
P
(
A
1
+
A
2
+
⋯
)
=
P
(
A
1
)
+
P
(
A
2
)
+
⋯
P(A_1+A_2+\cdots)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots
P(A1+A2+⋯)=P(A1)+P(A2)+⋯
P ( Φ ) = 0 P(\Phi)=0 P(Φ)=0
证明：
Ω
=
Ω
+
Φ
+
Φ
+
⋯
\Omega=\Omega+\Phi+\Phi+\cdots
Ω=Ω+Φ+Φ+⋯
P
(
Ω
)
=
P
(
Ω
+
Φ
+
Φ
+
⋯
)
=
P
(
Ω
)
+
P
(
Φ
)
+
P
(
Φ
)
+
⋯
=
1
+
P
(
Φ
)
+
P
(
Φ
)
+
⋯
=
1
\begin{aligned} P(\Omega)= & P(\Omega+\Phi+\Phi+\cdots) \\ = & P(\Omega)+P(\Phi)+P(\Phi)+\cdots \\ = & 1+P(\Phi)+P(\Phi)+\cdots \\ = & 1 \end{aligned}
P(Ω)====P(Ω+Φ+Φ+⋯)P(Ω)+P(Φ)+P(Φ)+⋯1+P(Φ)+P(Φ)+⋯1
[公理2、公理3]
P
(
Φ
)
+
P
(
Φ
)
+
⋯
=
0
P(\Phi)+P(\Phi)+\cdots=0
P(Φ)+P(Φ)+⋯=0
又
0
≤
P
(
Φ
)
≤
1
0\leq P(\Phi)\leq 1
0≤P(Φ)≤1[公理1]
P
(
Φ
)
=
0
P(\Phi)=0
P(Φ)=0
若 A 1 , A 2 , ⋯ , A n A_1,A_2,\cdots, A_n A1,A2,⋯,An两两互不相容，则 P ( A 1 + A 2 + ⋯ + A n ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + ⋯ + P ( A n ) P(A_1+A_2+\cdots+A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots+P(A_n) P(A1+A2+⋯+An)=P(A1)+P(A2)+⋯+P(An)
证明：
A
1
,
A
2
,
⋯
,
A
n
,
Φ
,
Φ
,
⋯
A_1,A_2,\cdots, A_n,\Phi,\Phi,\cdots
A1,A2,⋯,An,Φ,Φ,⋯ 两两互不相容
则
P
(
A
1
+
A
2
+
⋯
+
A
n
)
=
P
(
A
1
+
A
2
+
⋯
+
A
n
+
Φ
+
Φ
+
⋯
)
=
P
(
A
1
)
+
P
(
A
2
)
+
⋯
+
P
(
A
n
)
+
P
(
Φ
)
+
P
(
Φ
)
+
⋯
=
P
(
A
1
)
+
P
(
A
2
)
+
⋯
+
P
(
A
n
)
P(A_1+A_2+\cdots+A_n) \\ =P(A_1+A_2+\cdots+A_n+\Phi+\Phi+\cdots) \\ =P(A_1)+P(A_2)+\cdots+P(A_n)+P(\Phi)+P(\Phi)+\cdots \\ =P(A_1)+P(A_2)+\cdots+P(A_n)
P(A1+A2+⋯+An)=P(A1+A2+⋯+An+Φ+Φ+⋯)=P(A1)+P(A2)+⋯+P(An)+P(Φ)+P(Φ)+⋯=P(A1)+P(A2)+⋯+P(An)
[公理3]
P ( A ‾ ) = 1 − P ( A ) P(\overline{A})=1-P(A) P(A)=1−P(A)
证明：
A
∩
A
‾
=
Φ
A\cap\overline{A}=\Phi
A∩A=Φ
A
+
A
‾
=
Ω
A+\overline{A}=\Omega
A+A=Ω
所以
P
(
Ω
)
=
P
(
A
+
A
‾
)
=
P
(
A
)
+
P
(
A
‾
)
=
1
P(\Omega)=P(A+\overline{A})=P(A)+P(\overline{A})=1
P(Ω)=P(A+A)=P(A)+P(A)=1
[公理2、性质2]
所以
P
(
A
‾
)
=
1
−
P
(
A
)
P(\overline{A})=1-P(A)
P(A)=1−P(A)
推论：若 A 1 + A 2 + ⋯ + A n A_1+A_2+\cdots+A_n A1+A2+⋯+An构成了完备事件组，则 P ( Ω ) = P ( A 1 + A 2 + ⋯ + A n ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + ⋯ + P ( A n ) = 1 P(\Omega)=P(A_1+A_2+\cdots+A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots+P(A_n)=1 P(Ω)=P(A1+A2+⋯+An)=P(A1)+P(A2)+⋯+P(An)=1
证明：
A
=
(
A
−
B
)
∪
A
B
A=(A-B)\cup AB
A=(A−B)∪AB，
A
−
B
A-B
A−B与
A
B
AB
AB互不相容
P
(
A
)
=
P
(
A
−
B
)
+
P
(
A
B
)
P(A)=P(A-B)+P(AB)
P(A)=P(A−B)+P(AB)
[性质2]
P
(
A
−
B
)
=
P
(
A
)
−
P
(
A
B
)
P(A-B)=P(A)-P(AB)
P(A−B)=P(A)−P(AB)
当
A
⊃
B
A\supset B
A⊃B时，
A
B
=
B
AB=B
AB=B，则有
P
(
A
−
B
)
=
P
(
A
)
−
P
(
B
)
P(A-B)=P(A)-P(B)
P(A−B)=P(A)−P(B)
P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)
证明：
A
+
B
=
A
+
(
B
−
A
B
)
A+B=A+(B-AB)
A+B=A+(B−AB)，
A
A
A与
B
−
A
B
B-AB
B−AB互不相容
P
(
A
+
B
)
=
P
(
A
+
(
B
−
A
B
)
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
−
A
B
)
P(A+B)=P(A+(B-AB))=P(A)+P(B-AB)
P(A+B)=P(A+(B−AB))=P(A)+P(B−AB)
[性质2]
P
(
B
−
A
B
)
=
P
(
B
)
−
P
(
B
A
B
)
=
P
(
B
)
−
P
(
A
B
)
P(B-AB)=P(B)-P(BAB)=P(B)-P(AB)
P(B−AB)=P(B)−P(BAB)=P(B)−P(AB)
[性质4]
P
(
A
+
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
−
A
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
B
)
P(A+B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(A+B)=P(A)+P(B−AB)=P(A)+P(B)−P(AB)
补： P ( A + B + C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( A B ) − P ( A C ) − P ( B C ) + P ( A B C ) P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC)
【例1】 P ( A ) = 0.4 , P ( B ) = 0.3 , P ( A + B ) = 0.6 P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A+B)=0.6 P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A+B)=0.6，求 P ( A B ‾ ) P(A\overline{B}) P(AB)
根据加法原理，
P
(
A
+
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
B
)
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)
P
(
A
B
)
=
0.1
P(AB)=0.1
P(AB)=0.1
P
(
A
B
‾
)
=
P
(
A
−
B
)
=
P
(
A
)
−
P
(
A
B
)
=
0.3
P(A\overline{B})=P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3
P(AB)=P(A−B)=P(A)−P(AB)=0.3
【例2】
P
(
A
)
=
P
(
B
)
=
P
(
C
)
=
1
/
4
,
P
(
A
B
)
=
0
,
P
(
A
C
)
=
P
(
B
C
)
=
1
/
16
P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/16
P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/16，求：1.
A
B
C
ABC
ABC至少一个发生的概率；2.
A
B
C
ABC
ABC都不发生的概率
P
(
A
+
B
+
C
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
+
P
(
C
)
−
P
(
A
B
)
−
P
(
A
C
)
−
P
(
B
C
)
+
P
(
A
B
C
)
=
1
/
4
+
1
/
4
+
1
/
4
−
0
−
1
/
16
−
1
/
16
+
0
=
5
/
8
P(A+B+C)\\ =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)\\ =1/4+1/4+1/4-0-1/16-1/16+0\\ =5/8
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC)=1/4+1/4+1/4−0−1/16−1/16+0=5/8
P
(
A
+
B
+
C
‾
)
=
1
−
P
(
A
+
B
+
C
)
=
3
/
8
P(\overline{A+B+C})=1-P(A+B+C)=3/8
P(A+B+C)=1−P(A+B+C)=3/8
A
A
A为不可能事件
⇒
P
(
A
)
=
0
\Rarr P(A)=0
⇒P(A)=0
P
(
A
)
=
0
⇏
A
P(A)=0\not\Rarr A
P(A)=0⇒A为不可能事件
举例：0~1的线段上任取一点，恰好取到0.1位置的概率为0，但有可能发生
【例3】4个白球，3个黑球，任取3个，求其中至少有两个白球的概率。
P = C 4 2 C 3 1 + C 4 3 C 7 3 \displaystyle P=\frac{C_4^2C_3^1+C_4^3}{C_7^3} P=C73C42C31+C43
【例4】第一台机床不需要看管的概率为0.9，第二台机床不需要看管的概率为0.8，两台都需要的概率为0.02，问至少一台需要看管的概率。
P ( A 1 + A 2 ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) − P ( A 1 A 2 ) = 0.1 + 0.2 − 0.02 = 0.28 P(A_1+A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1A_2)=0.1+0.2-0.02=0.28 P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)−P(A1A2)=0.1+0.2−0.02=0.28
【例5】20件产品，一等品6件，二等品10件，三等品4件。任取3件，求至少两件等级相同的概率。
逆事件：三件等级各不相同
P
′
=
C
6
1
C
10
1
C
4
1
C
20
3
\displaystyle P'=\frac{C_6^1C_{10}^1C_4^1}{C_{20}^3}
P′=C203C61C101C41
P
=
1
−
P
′
=
1
−
C
6
1
C
10
1
C
4
1
C
20
3
\displaystyle P=1-P'=1-\frac{C_6^1C_{10}^1C_4^1}{C_{20}^3}
P=1−P′=1−C203C61C101C41
【例6】求 n n n个人至少两人生日相同的概率。
逆事件：
n
n
n个人生日各不相同
P
′
=
365
×
364
×
363
×
⋯
×
(
365
−
n
+
1
)
36
5
n
P'=\frac{365\times 364\times 363\times\cdots\times(365-n+1)}{365^n}
P′=365n365×364×363×⋯×(365−n+1)
P
=
1
−
P
′
=
1
−
365
×
364
×
363
×
⋯
×
(
365
−
n
+
1
)
36
5
n
P=1-P'=1-\frac{365\times 364\times 363\times\cdots\times(365-n+1)}{365^n}
P=1−P′=1−365n365×364×363×⋯×(365−n+1)
当 n = 55 n=55 n=55时， P ≈ 0.99 P\approx 0.99 P≈0.99
定义：
设
Ω
\Omega
Ω是样本空间，
A
B
AB
AB是两个事件，
P
(
B
)
>
0
P(B)>0
P(B)>0，在
B
B
B已经发生的条件下
A
A
A发生的概率称为
A
A
A对
B
B
B的条件概率，记作
P
(
A
∣
B
)
P(A|B)
P(A∣B)
P
(
A
)
P(A)
P(A)无条件概率
⟶
\longrightarrow
⟶ 样本空间
Ω
\Omega
Ω
P
(
A
∣
B
)
P(A|B)
P(A∣B)条件概率
⟶
\longrightarrow
⟶ 样本空间
B
=
Ω
B
B=\Omega_B
B=ΩB
性质：
P ( A ∣ B ) + P ( A ‾ ∣ B ) = 1 P(A|B)+P(\overline{A}|B)=1 P(A∣B)+P(A∣B)=1
P
(
A
∣
B
)
=
P
(
A
B
)
P
(
B
)
⇒
P
(
A
B
)
=
P
(
B
)
P
(
A
∣
B
)
P(A|B)=\displaystyle\frac{P(AB)}{P(B)} \Rarr P(AB)=P(B)P(A|B)
P(A∣B)=P(B)P(AB)⇒P(AB)=P(B)P(A∣B)
P
(
B
∣
A
)
=
P
(
A
B
)
P
(
A
)
⇒
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
∣
A
)
P(B|A)=\displaystyle\frac{P(AB)}{P(A)} \Rarr P(AB)=P(A)P(B|A)
P(B∣A)=P(A)P(AB)⇒P(AB)=P(A)P(B∣A)
P ( A 1 A 2 ⋯ A n ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 A 2 ) ⋯ P ( A n ∣ A 1 A 2 ⋯ A n − 1 ) P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\cdots P(A_n|A_1A_2\cdots A_{n-1}) P(A1A2⋯An)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2)⋯P(An∣A1A2⋯An−1)
设 A 1 + A 2 + ⋯ + A n A_1+A_2+\cdots+A_n A1+A2+⋯+An是试验 E E E的一个完备事件组， P ( A i ) > 0 P(A_i)>0 P(Ai)>0， P ( B ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) P(B)=\displaystyle\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i) P(B)=i=1∑nP(Ai)P(B∣Ai)
设 A 1 + A 2 + ⋯ + A n A_1+A_2+\cdots+A_n A1+A2+⋯+An是试验 E E E的一个完备事件组， B B B是试验 E E E的一个事件， P ( A i ) > 0 P(A_i)>0 P(Ai)>0， P ( B ) > 0 P(B)>0 P(B)>0， P ( A i ∣ B ) = P ( A k ) P ( B ∣ A k ) ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) = P ( A k B ) P ( B ) P(A_i|B)=\displaystyle\frac{P(A_k)P(B|A_k)}{\displaystyle\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)}=\frac{P(A_kB)}{P(B)} P(Ai∣B)=i=1∑nP(Ai)P(B∣Ai)P(Ak)P(B∣Ak)=P(B)P(AkB)
P
(
A
i
)
P(A_i)
P(Ai)：先验概率
P
(
A
i
∣
B
)
P(A_i|B)
P(Ai∣B)：后验概率
定义：
A
A
A事件发生的概率不受
B
B
B事件发生与否的影响。
P
(
A
∣
B
)
=
P
(
A
)
P(A|B)=P(A)
P(A∣B)=P(A)
定理： P ( A ) > 0 , P ( B ) > 0 P(A)>0,P(B)>0 P(A)>0,P(B)>0，则 A A A和 B B B独立的充要条件是 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B)
证明如下：
充分性：
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
⇒
A
B
P(AB)=P(A)P(B)\Rarr AB
P(AB)=P(A)P(B)⇒AB独立
P
(
A
∣
B
)
=
P
(
A
B
)
P
(
B
)
P(A|B)=\displaystyle\frac{P(AB)}{P(B)}
P(A∣B)=P(B)P(AB)
[条件概率]
P
(
A
∣
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
P
(
B
)
=
P
(
A
)
P(A|B)=\displaystyle\frac{P(A)P(B)}{P(B)}=P(A)
P(A∣B)=P(B)P(A)P(B)=P(A)
必要性：
A
B
AB
AB独立
⇒
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
\Rarr P(AB)=P(A)P(B)
⇒P(AB)=P(A)P(B)
P
(
A
B
)
=
P
(
B
)
P
(
A
∣
B
)
=
P
(
B
)
P
(
A
)
P(AB)=P(B)P(A|B)=P(B)P(A)
P(AB)=P(B)P(A∣B)=P(B)P(A)
[乘法公式]
若 P ( A ) = 0 P(A)=0 P(A)=0或 P ( B ) = 0 P(B)=0 P(B)=0，上述公式仍成立
定义1.6：若 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B)，则称 A B AB AB独立。
Φ
\Phi
Φ和
Ω
\Omega
Ω与任意事件
A
A
A独立
证明如下：
定理1.5：
独立：可能性
互不相容：
A
B
=
Φ
AB=\Phi
AB=Φ
P ( A ) > 0 , P ( B ) > 0 P(A)>0,P(B)>0 P(A)>0,P(B)>0， A B AB AB独立和互不相容不能同时成立
n
n
n个事件独立：任选
k
k
k个事件（
k
≤
n
k\leq n
k≤n）均独立
例：3个事件独立：
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
P(AB)=P(A)P(B)
P(AB)=P(A)P(B)
P
(
A
C
)
=
P
(
A
)
P
(
C
)
P(AC)=P(A)P(C)
P(AC)=P(A)P(C)
P
(
B
C
)
=
P
(
B
)
P
(
C
)
P(BC)=P(B)P(C)
P(BC)=P(B)P(C)
P
(
A
B
C
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
P
(
C
)
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
使用条件？
独立实验序列：
E
1
,
E
2
,
⋯
,
E
n
E_1,E_2,\cdots,E_n
E1,E2,⋯,En独立
n
n
n重独立实验：
E
,
E
,
⋯
,
E
⏟
n
个
\underbrace{E,E,\cdots,E}_{n个}
n个
E,E,⋯,E 独立
伯努利实验：结果只有两种
Ω
=
{
A
,
A
‾
}
\Omega=\{A,\overline{A}\}
Ω={A,A}
n
n
n重伯努利实验：
n
n
n次，独立，实验结果仅有两种
伯努利实验中，设
A
A
A发生的概率为
P
P
P，则
A
‾
\overline{A}
A的概率为
1
−
P
1-P
1−P
n
n
n重伯努利实验中，设
A
A
A发生的概率为
P
P
P，
A
A
A发生
k
k
k次的概率为：
P
n
(
k
)
=
C
n
k
P
k
(
1
−
P
)
n
−
k
P_n(k)=C_n^kP^k(1-P)^{n-k}
Pn(k)=CnkPk(1−P)n−k（二项概率公式）
