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ADRC控制系统离散形式的稳定性证明

2023-05-16

1.引言

这个问题是最近课题组一个师兄的SCI控制论文的一部分，应师兄之邀，博主贡献了控制系统稳定性的数学证明。博主目前的研究方向跟控制领域毫无关联，只负责其中的系统收敛性证明。师兄的控制系统是一个较为一般化的ADRC控制系统的离散形式，系统的状态转移矩阵A是一个谱半径小于1的n阶矩阵。ADRC系统连续形式的稳定性证明由文献[2]于2007年首次实现。此后的论文关于此系统在离散形式下的稳定性说明都只通过引用文献[2]，结合稳定的连续系统的离散形式也必定是稳定的结论来进行论证（其实想想也知道，一个有界函数离散成若干点，则这些点也当然有界啦）。博主首次不依赖于文献[2]独立证明了ADRC控制系统的离散形式的稳定性，同时给出了矩阵A在谱半径小于1和谱范数小于1两种条件下的稳定性证明，并给出了谱范数小于1时，系统状态向量2-范数的上界。

2.证明

(1)状态转移矩阵的谱半径小于1时的稳定性证明

(2)状态转移矩阵的谱范数（奇异值）小于1时的稳定性证明

 

综合以上两个证明：当ADRC系统的状态转移矩阵A 满足\rho (A)<1或\left \| A \right \|_{2}<1时，系统稳定；且当\left \| A \right \|_{2}<1，\left \| X(k) \right \|_{2}的上界为max(\left \| X(0) \right \|_{2},\frac{\left \| B \right \|_{2}M}{1-\sqrt{\lambda _{max}}})，其中M是\left | f(x)) \right |的上界

参考文献

[1]戴华.矩阵论[M].北京：科学出版社，2001

[2]Qing Zheng, Linda Q. Gao,Zhiqiang Gao. On Stability Analysis of Active Disturbance Rejection Control for Nonlinear Time-Varying Plants with Unknown Dynamics[C]\\Proceedings of the 46th IEEE Conference on Decision and Control New Orleans, LA, USA, Dec. 12-14, 2007

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ADRC

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