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4.2.3 积分法（二）——分部积分法

2023-10-31

emmmm想想词，算了想不出来，既然不定积分和导数是反操作，那就从导数开始说吧，先看一个导数公式。在这里插入图片描述
就不解释变形过程了，上图其实就是分部积分法的计算过程，总之是分成两个步骤，先分部再积分。至于+C等到完全积分积出来之后再加

目前我们总结过的不定积分的计算工具有基本公式、第一类换元积分法和第二类换元积分法。上述工具其实各有各的用处，基本公式就不说了，第一类换元积分法是一般的解题首选，而碰到无理函数，在第一类换元积分法不起作用的情况下，就要使用第二类换元积分法。本篇中总结的分布积分法的使用范围有6种，6种，6种重要的事情说3遍。

顺带一提，不定积分中的几个数字记一下：基本公式一共23个其中常、幂、指、对、三角、平方和差公式数量分别为1+2+2+0+10+8；积分方法算上本篇总结的分布积分法共有两个大类三种方法。

分布积分使用范围

  • case1 幂函数与指数函数的积
  • case2 幂函数与对数函数的积
  • case3 幂函数与三角函数的积
  • case4 幂函数与反三角函数的积
  • case5·指数函数与sin或cos的积
  • case6 secnxdx或cscnxdx 当n为奇数的时候

注解

  • 重复一遍，分部积分法两个步骤，先分部再积分
  • case2:对于幂函数和对数函数之积的情况，将对数函数放在d前面，毕竟我也不知道对数函数的不定积分是个啥
  • case3:幂函数和三角函数之积，出现的三角函数如果是sinx和cosx，要降次降成1次（半角公式），如果出现了tanx、secx、cotx、cscx必须要求是偶次,三角函数放在d后面
  • case4：幂函数与反三角函数之积，幂函数放到d后边，因为反三角到不了后边
  • case5：对于指数函数与sin/cos之积，分部的步骤随便谁到后面，但是这种情况解法不同于之前，等下用例题说明
  • case6：只有奇次才需要分部积分，偶次不需要分部积分

例题

由于本篇情况分类较多，例题部分也就多一点
例1在这里插入图片描述

例2在这里插入图片描述

例3在这里插入图片描述

例4在这里插入图片描述

例5在这里插入图片描述

例6在这里插入图片描述

例7在这里插入图片描述

例8在这里插入图片描述

例9在这里插入图片描述

例10在这里插入图片描述

例11 在这里插入图片描述
慢慢看，跟着写，体会数学之美【doge】
本篇完

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