将 3d 4x4 旋转矩阵转换为 2d

假设我们有一个 4x4 矩阵，其索引如下：

00 01 02 03
10 11 12 13
20 21 22 23
30 31 32 33

如何将该矩阵中包含的旋转数据（忽略 z 轴，如果有帮助的话）转换为单个 2d 旋转角度（以弧度为单位）？

背景：我有一个从 Blender 导出为 Collada 格式的 3D .dae 动画。从技术上讲，动画是 2d 的，所有 z 轴值都是 0。我试图将 4x4 矩阵转换为 2d 平移、旋转和缩放数据。

尺度矩阵S看起来像这样：

sx 0  0  0
0  sy 0  0
0  0  sz 0
0  0  0  1

翻译矩阵T看起来像这样：

1  0  0  0
0  1  0  0
0  0  1  0
tx ty tz 1

Z轴旋转矩阵R看起来像这样：

 cos(a) sin(a)  0  0
-sin(a) cos(a)  0  0
   0      0     1  0
   0      0     0  1

如果你有一个变换矩阵M，它是多次乘法的结果R, T and S矩阵。看着M，这些乘法的顺序和次数未知。但是，如果我们假设M=S*R*T我们可以将其分解为单独的矩阵。首先我们来计算一下S*R*T:

        ( sx*cos(a) sx*sin(a) 0  0)       (m11 m12 m13 m14)
S*R*T = (-sy*sin(a) sy*cos(a) 0  0) = M = (m21 m22 m23 m24)
        (     0         0     sz 0)       (m31 m32 m33 m34)
        (     tx        ty    tz 1)       (m41 m42 m43 m44)

由于我们知道这是一个 2D 转换，因此获得翻译非常简单：

translation = vector2D(tx, ty) = vector2D(m41, m42)

为了计算旋转和缩放，我们可以使用sin(a)^2+cos(a)^2=1:

(m11 / sx)^2 + (m12 / sx)^2 = 1
(m21 / sy)^2 + (m22 / sy)^2 = 1

m11^2 + m12^2 = sx^2
m21^2 + m22^2 = sy^2

sx = sqrt(m11^2 + m12^2)
sy = sqrt(m21^2 + m22^2)

scale = vector2D(sx, sy)

rotation_angle = atan2(sx*m22, sy*m12)