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相关分析与回归分析

2023-05-16

相关与回归分析就是了解变量之间相关关系的统计方法

一.相关分析

具有相关关系的变量之间，如果不区分原因和结果，我们称之为相关分析

相关分析是看两个因素之间的相关性，不需要确定哪个是自变量，哪个是因变量，两个因素是平行关系

1.变量之间的关系

2.函数关系

定义：当一个变量取一个值的时候，另一个变量有确定值与之对应

特点：变量之间是一一对应的确定关系；Y随X一起变化，并完全依赖于X；各观测点落在一条线上

3.相关关系

定义：变量之间保持着不确定性的数量依存关系，即变量间的关系不能用函数关系精确的表达

特点：一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定；当变量X取某个值时，变量Y的取值可能有好几个；各观测点分布在直线周围

两个变量之间存在相关关系，并不一定意味着一个变量会影响到另一个变量，也不意味着两者存在实际关系，即数学关系 ≠ 实际关系

4.类型

正线性相关：一个变量增长，另一个变量也相应的增长

负线性相关：一个变量增长，另一个变量也相应的减少

不相关：两个变量之间是随机模式，不存在相关性

正相关不一定是正线性相关，还要看变量之间具体的函数F(x)是一次函数，还是二次函数或者其它曲线

如果是一次函数叫正线性相关，如果不是一次函数，就只能说两者是正相关，不能说正线性相关

区别是线性还是非线性，主要看函数y = F(x)对自变量x的依赖关系

线性相关的函数是一次函数，是正比例关系或者反比例关系，函数一般为y = Ax + B，其图像表现为一条直线

非线性相关的函数关系不是一次函数，图像不是直线，一般情况是曲线或抛物线关系

二.回归分析

具有相关关系的变量之间，如果存在因果关系，我们用回归分析来确定它们之间的关系

因果关系的表现形式

①一种原因引起一种结果

②多种原因引起一种结果

③变量之间互为因果

1.相关分析与回归分析的关系

①相关分析强调的是现象之间是否相关，相关的方向和密切程度，而回归分析则要分析现象之间的具体形式，确定其因果关系，并用数学模型来表现其具体关系

②在研究相关分析时，不需要区分自变量和因变量，但回归分析的首要问题就是确定哪个是自变量，哪个是因变量

③现象之间相关分析的研究，只能计算一个相关系数；而回归分析时回归系数可能有两个，也就是两现象互为因果关系时，可以确定两个独立回归方程，从而就有两个不同的回归系数

总结：相关分析是回归分析的基础和前提，只有变量之间存在高度相关时，进行回归分析确定相关的具体形式才有意义；回归分析是相关分析的继续和深入，变量之间的相关程度需要回归分析来确认

2.求最佳拟合线步骤

①求出直线公式

②将误差最小化

③求误差平方和

所以，求最佳拟合线就是求使得误差平方和最小的那条直线

3.相关系数

对于直线y = A +Bx，尽管名为“最佳拟合线”，但我们并不知道这条线的准确性如何，还有一件事需要考虑，回归线的相关性强度

尽管最佳拟合线是与数据拟合程度最高的直线，但它并不能与每个点都精确拟合

让我们查看一些相关关系，看看直线和数据的拟合情况 

①精确线性相关

直线和每个点几乎精确拟合

可以这样说，依据这条线做出的任何预测可能都是准确的

②非线性相关

这一组数据未体现出线性相关性

你可以用最小二乘回归法算出一条回归线，但据此做出的任何预测都不太可能准确

两组数据都有回归线，但数据的实际拟合程度却不大相同，第一组数据的相关性十分明显，但第二组数据十分分散，以致回归线丧失了应有的作用

有一种方法可用于衡量直线拟合的程度：计算相关系数

相关系数是介于-1和1之间的一个数，描述了各个数据点与直线的偏离程度，通过它可以量度回归线与数据的拟合度，通常用字母R来表示

通常情况下，R介于[-1,1]之间，R越接近1或-1，相关性越强，数据点距离直线越近，拟合准确度越高；R越接近0，相关性越弱，数据点距离直线越远，甚至不存在相关关系

回归分析又称为曲线拟合，其本质就是一个函数估计的问题，即找出因变量和自变量之间的函数关系（因果关系）

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